Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 3} \frac{3 \ln (4 - x)}{x - 3}$

Paso 1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 3} 3 \ln (4 - x)}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Paso 1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.2.1

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{3 lim_{x \to 3} \ln (4 - x)}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Paso 1.2.2

Mueve el límite dentro del logaritmo.

$\frac{3 \ln (lim_{x \to 3} 4 - x)}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Paso 1.2.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $3$ .

$\frac{3 \ln (lim_{x \to 3} 4 - lim_{x \to 3} x)}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Paso 1.2.4

Evalúa el límite de $4$ que es constante cuando $x$ se acerca a $3$ .

$\frac{3 \ln (4 - lim_{x \to 3} x)}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Paso 1.2.5

Simplifica los términos.

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Paso 1.2.5.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $3$ para $x$ .

$\frac{3 \ln (4 - 3)}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Paso 1.2.5.2

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.2.5.2.1

Resta $3$ de $4$ .

$\frac{3 \ln (1)}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Paso 1.2.5.2.2

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$\frac{3 \cdot 0}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Paso 1.2.5.2.3

Multiplica $3$ por $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Paso 1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.3.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $3$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 3}$

Paso 1.3.1.2

Evalúa el límite de $3$ que es constante cuando $x$ se acerca a $3$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}$

Paso 1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $3$ para $x$ .

$\frac{0}{3 - 1 \cdot 3}$

Paso 1.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.3.3.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{0}{3 - 3}$

Paso 1.3.3.2

Resta $3$ de $3$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.3.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 3} \frac{3 \ln (4 - x)}{x - 3} = lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [3 \ln (4 - x)]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Paso 3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [3 \ln (4 - x)]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Paso 3.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 \ln (4 - x)$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{3 \frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = 4 - x$ .

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Paso 3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $4 - x$ .

$lim_{x \to 3} \frac{3 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [4 - x])}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Paso 3.3.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{3 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [4 - x])}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Paso 3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $4 - x$ .

$lim_{x \to 3} \frac{3 (\frac{1}{4 - x} \frac{d}{d x} [4 - x])}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Paso 3.4

Combina $\frac{1}{4 - x}$ y $3$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{3}{4 - x} \frac{d}{d x} [4 - x]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Paso 3.5

Según la regla de la suma, la derivada de $4 - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{3}{4 - x} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Paso 3.6

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{3}{4 - x} (0 + \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Paso 3.7

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{3}{4 - x} \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Paso 3.8

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{3}{4 - x} (- \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Paso 3.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{3}{4 - x} (- 1 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Paso 3.10

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{3}{4 - x} \cdot - 1}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Paso 3.11

Combina $\frac{3}{4 - x}$ y $- 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{3 \cdot - 1}{4 - x}}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Paso 3.12

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{- 3}{4 - x}}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Paso 3.13

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{x \to 3} \frac{- \frac{3}{4 - x}}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Paso 3.14

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{- \frac{3}{4 - x}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Paso 3.15

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{- \frac{3}{4 - x}}{1 + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Paso 3.16

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{- \frac{3}{4 - x}}{1 + 0}$

Paso 3.17

Suma $1$ y $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{- \frac{3}{4 - x}}{1}$

Paso 4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{x \to 3} - \frac{3}{4 - x} \cdot 1$

Paso 5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$lim_{x \to 3} - \frac{3}{4 - x}$

Paso 6

Mueve el término $- 1$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$- lim_{x \to 3} \frac{3}{4 - x}$

Paso 7

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$- 3 lim_{x \to 3} \frac{1}{4 - x}$

Paso 8

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $3$ .

$- 3 \frac{lim_{x \to 3} 1}{lim_{x \to 3} 4 - x}$

Paso 9

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $3$ .

$- 3 \frac{1}{lim_{x \to 3} 4 - x}$

Paso 10

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $3$ .

$- 3 \frac{1}{lim_{x \to 3} 4 - lim_{x \to 3} x}$

Paso 11

Evalúa el límite de $4$ que es constante cuando $x$ se acerca a $3$ .

$- 3 \frac{1}{4 - lim_{x \to 3} x}$

Paso 12

Simplifica los términos.

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Paso 12.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $3$ para $x$ .

$- 3 \frac{1}{4 - 3}$

Paso 12.2

Simplifica la respuesta.

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Paso 12.2.1

Resta $3$ de $4$ .

$- 3 (\frac{1}{1})$

Paso 12.2.2

Cancela el factor común de $1$ .

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Paso 12.2.2.1

Cancela el factor común.

$- 3 (\frac{1}{1})$

Paso 12.2.2.2

Reescribe la expresión.

$- 3 \cdot 1$

Paso 12.2.3

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$- 3$