Cálculo Ejemplos

$y = \ln (x + y)$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln (x + y))$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = x + y$ .

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Paso 3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x + y$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x + y]$

Paso 3.1.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x + y]$

Paso 3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + y$ .

$\frac{1}{x + y} \frac{d}{d x} [x + y]$

Paso 3.2

Diferencia.

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Paso 3.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{1}{x + y} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{x + y} (1 + \frac{d}{d x} [y])$

Paso 3.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{1}{x + y} (1 + y')$

Paso 3.4

Simplifica.

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Paso 3.4.1

Reordena los factores de $\frac{1}{x + y} (1 + y')$ .

$(1 + y') \frac{1}{x + y}$

Paso 3.4.2

Multiplica $1 + y'$ por $\frac{1}{x + y}$ .

$\frac{1 + y'}{x + y}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = \frac{1 + y'}{x + y}$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Multiplica ambos lados por $x + y$ .

$y' (x + y) = \frac{1 + y'}{x + y} (x + y)$

Paso 5.2

Simplifica.

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Paso 5.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y' x + y' y = \frac{1 + y'}{x + y} (x + y)$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.2.1

Simplifica $\frac{1 + y'}{x + y} (x + y)$ .

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Paso 5.2.2.1.1

Cancela el factor común de $x + y$ .

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Paso 5.2.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$y' x + y' y = \frac{1 + y'}{x + y} (x + y)$

Paso 5.2.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$y' x + y' y = 1 + y'$

Paso 5.2.2.1.2

Reordena $1$ y $y'$ .

$y' x + y' y = y' + 1$

Paso 5.3

Resuelve $y'$

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Paso 5.3.1

Resta $y'$ de ambos lados de la ecuación.

$y' x + y' y - y' = 1$

Paso 5.3.2

Factoriza $y'$ de $y' x + y' y - y'$ .

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Paso 5.3.2.1

Factoriza $y'$ de $y' x$ .

$y' (x) + y' (y) - y' = 1$

Paso 5.3.2.2

Factoriza $y'$ de $y' y$ .

$y' (x) + y' (y) - y' = 1$

Paso 5.3.2.3

Factoriza $y'$ de $- y'$ .

$y' (x) + y' (y) + y' \cdot - 1 = 1$

Paso 5.3.2.4

Factoriza $y'$ de $y' (x) + y' (y)$ .

$y' (x + y) + y' \cdot - 1 = 1$

Paso 5.3.2.5

Factoriza $y'$ de $y' (x + y) + y' \cdot - 1$ .

$y' (x + y - 1) = 1$

Paso 5.3.3

Divide cada término en $y' (x + y - 1) = 1$ por $x + y - 1$ y simplifica.

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Paso 5.3.3.1

Divide cada término en $y' (x + y - 1) = 1$ por $x + y - 1$ .

$\frac{y' (x + y - 1)}{x + y - 1} = \frac{1}{x + y - 1}$

Paso 5.3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.3.2.1

Cancela el factor común de $x + y - 1$ .

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Paso 5.3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (x + y - 1)}{x + y - 1} = \frac{1}{x + y - 1}$

Paso 5.3.3.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{1}{x + y - 1}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x + y - 1}$