Cálculo Ejemplos

Halle la antiderivada raíz cuadrada de x^2+4
Paso 1
Escribe como una función.
Paso 2
La función puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada .
Paso 3
Establece la integral para resolver.
Paso 4
Sea , donde . Entonces . Tenga en cuenta que ya que , es positiva.
Paso 5
Simplifica los términos.
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Paso 5.1
Simplifica .
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Paso 5.1.1
Simplifica cada término.
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Paso 5.1.1.1
Aplica la regla del producto a .
Paso 5.1.1.2
Eleva a la potencia de .
Paso 5.1.2
Factoriza de .
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Paso 5.1.2.1
Factoriza de .
Paso 5.1.2.2
Factoriza de .
Paso 5.1.2.3
Factoriza de .
Paso 5.1.3
Aplica la identidad pitagórica.
Paso 5.1.4
Reescribe como .
Paso 5.1.5
Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.
Paso 5.2
Simplifica.
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Paso 5.2.1
Multiplica por .
Paso 5.2.2
Multiplica por sumando los exponentes.
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Paso 5.2.2.1
Mueve .
Paso 5.2.2.2
Multiplica por .
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Paso 5.2.2.2.1
Eleva a la potencia de .
Paso 5.2.2.2.2
Usa la regla de la potencia para combinar exponentes.
Paso 5.2.2.3
Suma y .
Paso 6
Dado que es constante con respecto a , mueve fuera de la integral.
Paso 7
Factoriza de .
Paso 8
Integra por partes mediante la fórmula , donde y .
Paso 9
Eleva a la potencia de .
Paso 10
Eleva a la potencia de .
Paso 11
Usa la regla de la potencia para combinar exponentes.
Paso 12
Simplifica la expresión.
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Paso 12.1
Suma y .
Paso 12.2
Reordena y .
Paso 13
Mediante la identidad pitagórica, reescribe como .
Paso 14
Simplifica mediante la multiplicación.
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Paso 14.1
Reescribe la exponenciación como un producto.
Paso 14.2
Aplica la propiedad distributiva.
Paso 14.3
Reordena y .
Paso 15
Eleva a la potencia de .
Paso 16
Eleva a la potencia de .
Paso 17
Usa la regla de la potencia para combinar exponentes.
Paso 18
Suma y .
Paso 19
Eleva a la potencia de .
Paso 20
Usa la regla de la potencia para combinar exponentes.
Paso 21
Suma y .
Paso 22
Divide la única integral en varias integrales.
Paso 23
Dado que es constante con respecto a , mueve fuera de la integral.
Paso 24
La integral de con respecto a es .
Paso 25
Simplifica mediante la multiplicación.
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Paso 25.1
Aplica la propiedad distributiva.
Paso 25.2
Multiplica por .
Paso 26
Al resolver , obtenemos que = .
Paso 27
Multiplica por .
Paso 28
Simplifica.
Paso 29
Simplifica.
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Paso 29.1
Combina y .
Paso 29.2
Cancela el factor común de y .
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Paso 29.2.1
Factoriza de .
Paso 29.2.2
Cancela los factores comunes.
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Paso 29.2.2.1
Factoriza de .
Paso 29.2.2.2
Cancela el factor común.
Paso 29.2.2.3
Reescribe la expresión.
Paso 29.2.2.4
Divide por .
Paso 30
Reemplaza todos los casos de con .
Paso 31
Simplifica.
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Paso 31.1
Simplifica cada término.
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Paso 31.1.1
Dibuja un triángulo en el plano con los vértices , y el origen. Entonces es el ángulo entre el eje x positivo y el rayo que comienza en el origen y pasa por . Por lo tanto, es .
Paso 31.1.2
Aplica la regla del producto a .
Paso 31.1.3
Eleva a la potencia de .
Paso 31.1.4
Escribe como una fracción con un denominador común.
Paso 31.1.5
Combina los numeradores sobre el denominador común.
Paso 31.1.6
Reescribe como .
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Paso 31.1.6.1
Factoriza la potencia perfecta de .
Paso 31.1.6.2
Factoriza la potencia perfecta de .
Paso 31.1.6.3
Reorganiza la fracción .
Paso 31.1.7
Retira los términos de abajo del radical.
Paso 31.1.8
Combina y .
Paso 31.1.9
Las funciones tangente y arcotangente son inversas.
Paso 31.1.10
Combinar.
Paso 31.1.11
Multiplica por .
Paso 31.1.12
Simplifica cada término.
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Paso 31.1.12.1
Dibuja un triángulo en el plano con los vértices , y el origen. Entonces es el ángulo entre el eje x positivo y el rayo que comienza en el origen y pasa por . Por lo tanto, es .
Paso 31.1.12.2
Aplica la regla del producto a .
Paso 31.1.12.3
Eleva a la potencia de .
Paso 31.1.12.4
Escribe como una fracción con un denominador común.
Paso 31.1.12.5
Combina los numeradores sobre el denominador común.
Paso 31.1.12.6
Reescribe como .
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Paso 31.1.12.6.1
Factoriza la potencia perfecta de .
Paso 31.1.12.6.2
Factoriza la potencia perfecta de .
Paso 31.1.12.6.3
Reorganiza la fracción .
Paso 31.1.12.7
Retira los términos de abajo del radical.
Paso 31.1.12.8
Combina y .
Paso 31.1.12.9
Las funciones tangente y arcotangente son inversas.
Paso 31.1.13
Combina los numeradores sobre el denominador común.
Paso 31.1.14
Elimina los términos no negativos del valor absoluto.
Paso 31.2
Para escribir como una fracción con un denominador común, multiplica por .
Paso 31.3
Combina y .
Paso 31.4
Combina los numeradores sobre el denominador común.
Paso 31.5
Mueve a la izquierda de .
Paso 31.6
Cancela el factor común de .
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Paso 31.6.1
Factoriza de .
Paso 31.6.2
Cancela el factor común.
Paso 31.6.3
Reescribe la expresión.
Paso 32
Reordena los términos.
Paso 33
La respuesta es la antiderivada de la función .