Cálculo Ejemplos

\sqrt{x^{2} + 4}

$\sqrt{x^{2} + 4}$

Paso 1

Escribe

\sqrt{x^{2} + 4}

$\sqrt{x^{2} + 4}$ como una función.

f (x) = \sqrt{x^{2} + 4}

$f (x) = \sqrt{x^{2} + 4}$

Paso 2

La función

F (x)

$F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada

f (x)

$f (x)$ .

F (x) = \int f (x) d x

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

F (x) = \int \sqrt{x^{2} + 4} d x

$F (x) = \int \sqrt{x^{2} + 4} d x$

Paso 4

Sea

x = 2 tan (t)

$x = 2 \tan (t)$ , donde

- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Entonces

d x = 2 {sec}^{2} (t) d t

$d x = 2 \sec^{2} (t) d t$ . Tenga en cuenta que ya que

- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ,

2 {sec}^{2} (t)

$2 \sec^{2} (t)$ es positiva.

\int \sqrt{{(2 tan (t))}^{2} + 4} (2 {sec}^{2} (t)) d t

$\int \sqrt{{(2 \tan (t))}^{2} + 4} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Paso 5

Simplifica los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Simplifica

\sqrt{{(2 tan (t))}^{2} + 4}

$\sqrt{{(2 \tan (t))}^{2} + 4}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.1.1

Aplica la regla del producto a

2 tan (t)

$2 \tan (t)$ .

\int \sqrt{2^{2} {tan}^{2} (t) + 4} (2 {sec}^{2} (t)) d t

$\int \sqrt{2^{2} \tan^{2} (t) + 4} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Paso 5.1.1.2

Eleva

2

$2$ a la potencia de

2

$2$ .

\int \sqrt{4 {tan}^{2} (t) + 4} (2 {sec}^{2} (t)) d t

$\int \sqrt{4 \tan^{2} (t) + 4} (2 \sec^{2} (t)) d t$

\int \sqrt{4 {tan}^{2} (t) + 4} (2 {sec}^{2} (t)) d t

$\int \sqrt{4 \tan^{2} (t) + 4} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Paso 5.1.2

Factoriza

4

$4$ de

4 {tan}^{2} (t) + 4

$4 \tan^{2} (t) + 4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.2.1

Factoriza

4

$4$ de

4 {tan}^{2} (t)

$4 \tan^{2} (t)$ .

\int \sqrt{4 ({tan}^{2} (t)) + 4} (2 {sec}^{2} (t)) d t

$\int \sqrt{4 (\tan^{2} (t)) + 4} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Paso 5.1.2.2

Factoriza

4

$4$ de

4

$4$ .

\int \sqrt{4 ({tan}^{2} (t)) + 4 (1)} (2 {sec}^{2} (t)) d t

$\int \sqrt{4 (\tan^{2} (t)) + 4 (1)} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Paso 5.1.2.3

Factoriza

4

$4$ de

4 ({tan}^{2} (t)) + 4 (1)

$4 (\tan^{2} (t)) + 4 (1)$ .

\int \sqrt{4 ({tan}^{2} (t) + 1)} (2 {sec}^{2} (t)) d t

$\int \sqrt{4 (\tan^{2} (t) + 1)} (2 \sec^{2} (t)) d t$

\int \sqrt{4 ({tan}^{2} (t) + 1)} (2 {sec}^{2} (t)) d t

$\int \sqrt{4 (\tan^{2} (t) + 1)} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Paso 5.1.3

Aplica la identidad pitagórica.

\int \sqrt{4 {sec}^{2} (t)} (2 {sec}^{2} (t)) d t

$\int \sqrt{4 \sec^{2} (t)} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Paso 5.1.4

Reescribe

4 {sec}^{2} (t)

$4 \sec^{2} (t)$ como

{(2 sec (t))}^{2}

${(2 \sec (t))}^{2}$ .

\int \sqrt{{(2 sec (t))}^{2}} (2 {sec}^{2} (t)) d t

$\int \sqrt{{(2 \sec (t))}^{2}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Paso 5.1.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

\int 2 sec (t) (2 {sec}^{2} (t)) d t

$\int 2 \sec (t) (2 \sec^{2} (t)) d t$

\int 2 sec (t) (2 {sec}^{2} (t)) d t

$\int 2 \sec (t) (2 \sec^{2} (t)) d t$

Paso 5.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1

Multiplica

2

$2$ por

2

$2$ .

\int 4 sec (t) {sec}^{2} (t) d t

$\int 4 \sec (t) \sec^{2} (t) d t$

Paso 5.2.2

Multiplica

sec (t)

$\sec (t)$ por

{sec}^{2} (t)

$\sec^{2} (t)$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.2.1

Mueve

{sec}^{2} (t)

$\sec^{2} (t)$ .

\int 4 ({sec}^{2} (t) sec (t)) d t

$\int 4 (\sec^{2} (t) \sec (t)) d t$

Paso 5.2.2.2

Multiplica

{sec}^{2} (t)

$\sec^{2} (t)$ por

sec (t)

$\sec (t)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.2.2.1

Eleva

sec (t)

$\sec (t)$ a la potencia de

1

$1$ .

\int 4 ({sec}^{2} (t) {sec}^{1} (t)) d t

$\int 4 (\sec^{2} (t) \sec^{1} (t)) d t$

Paso 5.2.2.2.2

Usa la regla de la potencia

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

\int 4 {sec (t)}^{2 + 1} d t

$\int 4 {\sec (t)}^{2 + 1} d t$

\int 4 {sec (t)}^{2 + 1} d t

$\int 4 {\sec (t)}^{2 + 1} d t$

Paso 5.2.2.3

Suma

2

$2$ y

1

$1$ .

\int 4 {sec}^{3} (t) d t

$\int 4 \sec^{3} (t) d t$

\int 4 {sec}^{3} (t) d t

$\int 4 \sec^{3} (t) d t$

\int 4 {sec}^{3} (t) d t

$\int 4 \sec^{3} (t) d t$

\int 4 {sec}^{3} (t) d t

$\int 4 \sec^{3} (t) d t$

Paso 6

Dado que

4

$4$ es constante con respecto a

t

$t$ , mueve

4

$4$ fuera de la integral.

4 \int {sec}^{3} (t) d t

$4 \int \sec^{3} (t) d t$

Paso 7

Factoriza

sec (t)

$\sec (t)$ de

{sec}^{3} (t)

$\sec^{3} (t)$ .

4 \int sec (t) {sec}^{2} (t) d t

$4 \int \sec (t) \sec^{2} (t) d t$

Paso 8

Integra por partes mediante la fórmula

\int u d v = u v - \int v d u

$\int u d v = u v - \int v d u$ , donde

$u = \sec (t)$ y

$d v = \sec^{2} (t)$ .

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int \tan (t) (\sec (t) \tan (t)) d t)$

Paso 9

Eleva

$\tan (t)$ a la potencia de

$1$ .

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan (t) \sec (t) d t)$

Paso 10

Eleva

$\tan (t)$ a la potencia de

$1$ .

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan^{1} (t) \sec (t) d t)$

Paso 11

Usa la regla de la potencia

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int {\tan (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t)$

Paso 12

Simplifica la expresión.

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Paso 12.1

Suma

$1$ y

$1$ .

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{2} (t) \sec (t) d t)$

Paso 12.2

Reordena

$\tan^{2} (t)$ y

$\sec (t)$ .

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \tan^{2} (t) d t)$

Paso 13

Mediante la identidad pitagórica, reescribe

$\tan^{2} (t)$ como

$- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec^{2} (t)) d t)$

Paso 14

Simplifica mediante la multiplicación.

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Paso 14.1

Reescribe la exponenciación como un producto.

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec (t) \sec (t)) d t)$

Paso 14.2

Aplica la propiedad distributiva.

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \cdot - 1 + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t)$

Paso 14.3

Reordena

$\sec (t)$ y

$- 1$ .

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \cdot \sec (t) + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t)$

Paso 15

Eleva

$\sec (t)$ a la potencia de

$1$ .

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec (t) \sec (t) d t)$

Paso 16

Eleva

$\sec (t)$ a la potencia de

$1$ .

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec^{1} (t) \sec (t) d t)$

Paso 17

Usa la regla de la potencia

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t)$

Paso 18

Suma

$1$ y

$1$ .

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec (t) d t)$

Paso 19

Eleva

$\sec (t)$ a la potencia de

$1$ .

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec^{1} (t) d t)$

Paso 20

Usa la regla de la potencia

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{2 + 1} d t)$

Paso 21

Suma

$2$ y

$1$ .

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{3} (t) d t)$

Paso 22

Divide la única integral en varias integrales.

$4 (\sec (t) \tan (t) - (\int - 1 \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t))$

Paso 23

Dado que

$- 1$ es constante con respecto a

$t$ , mueve

$- 1$ fuera de la integral.

$4 (\sec (t) \tan (t) - (- \int \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t))$

Paso 24

La integral de

$\sec (t)$ con respecto a

$t$ es

$\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$4 (\sec (t) \tan (t) - (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec^{3} (t) d t))$

Paso 25

Simplifica mediante la multiplicación.

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Paso 25.1

Aplica la propiedad distributiva.

$4 (\sec (t) \tan (t) - - (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t)$

Paso 25.2

Multiplica

$- 1$ por

$- 1$ .

$4 (\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t)$

Paso 26

Al resolver

$\int \sec^{3} (t) d t$ , obtenemos que

$\int \sec^{3} (t) d t$ =

$\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2}$ .

$4 (\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2} + C)$

Paso 27

Multiplica

$\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$ por

$1$ .

$4 (\frac{\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C}{2} + C)$

Paso 28

Simplifica.

$4 (\frac{1}{2}) (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

Paso 29

Simplifica.

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Paso 29.1

Combina

$4$ y

$\frac{1}{2}$ .

$\frac{4}{2} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

Paso 29.2

Cancela el factor común de

$4$ y

$2$ .

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Paso 29.2.1

Factoriza

$2$ de

$4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

Paso 29.2.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 29.2.2.1

Factoriza

$2$ de

$2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

Paso 29.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

Paso 29.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{1} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

Paso 29.2.2.4

Divide

$2$ por

$1$ .

$2 (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

Paso 30

Reemplaza todos los casos de

$t$ con

$\arctan (\frac{x}{2})$ .

$2 (\sec (\arctan (\frac{x}{2})) \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Paso 31

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 31.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 31.1.1

Dibuja un triángulo en el plano con los vértices

$(1, \frac{x}{2})$ ,

$(1, 0)$ y el origen. Entonces

$\arctan (\frac{x}{2})$ es el ángulo entre el eje x positivo y el rayo que comienza en el origen y pasa por

$(1, \frac{x}{2})$ . Por lo tanto,

$\sec (\arctan (\frac{x}{2}))$ es

$\sqrt{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}}$ .

$2 (\sqrt{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}} \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Paso 31.1.2

Aplica la regla del producto a

$\frac{x}{2}$ .

$2 (\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{2^{2}}} \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Paso 31.1.3

Eleva

$2$ a la potencia de

$2$ .

$2 (\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{4}} \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Paso 31.1.4

Escribe

$1$ como una fracción con un denominador común.

$2 (\sqrt{\frac{4}{4} + \frac{x^{2}}{4}} \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Paso 31.1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 (\sqrt{\frac{4 + x^{2}}{4}} \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Paso 31.1.6

Reescribe

$\frac{4 + x^{2}}{4}$ como

${(\frac{1}{2})}^{2} (4 + x^{2})$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 31.1.6.1

Factoriza la potencia perfecta

$1^{2}$ de

$4 + x^{2}$ .

$2 (\sqrt{\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{4}} \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Paso 31.1.6.2

Factoriza la potencia perfecta

$2^{2}$ de

$4$ .

$2 (\sqrt{\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{2^{2} \cdot 1}} \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Paso 31.1.6.3

Reorganiza la fracción

$\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{2^{2} \cdot 1}$ .

$2 (\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (4 + x^{2})} \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Paso 31.1.7

Retira los términos de abajo del radical.

$2 (\frac{1}{2} \sqrt{4 + x^{2}} \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Paso 31.1.8

Combina

$\frac{1}{2}$ y

$\sqrt{4 + x^{2}}$ .

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Paso 31.1.9

Las funciones tangente y arcotangente son inversas.

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} \cdot \frac{x}{2} + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Paso 31.1.10

Combinar.

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{2 \cdot 2} + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Paso 31.1.11

Multiplica

$2$ por

$2$ .

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Paso 31.1.12

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 31.1.12.1

Dibuja un triángulo en el plano con los vértices

$(1, \frac{x}{2})$ ,

$(1, 0)$ y el origen. Entonces

$\arctan (\frac{x}{2})$ es el ángulo entre el eje x positivo y el rayo que comienza en el origen y pasa por

$(1, \frac{x}{2})$ . Por lo tanto,

$\sec (\arctan (\frac{x}{2}))$ es

$\sqrt{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}}$ .

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \sqrt{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}} + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Paso 31.1.12.2

Aplica la regla del producto a

$\frac{x}{2}$ .

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \sqrt{1 + \frac{x^{2}}{2^{2}}} + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Paso 31.1.12.3

Eleva

$2$ a la potencia de

$2$ .

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \sqrt{1 + \frac{x^{2}}{4}} + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Paso 31.1.12.4

Escribe

$1$ como una fracción con un denominador común.

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \sqrt{\frac{4}{4} + \frac{x^{2}}{4}} + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Paso 31.1.12.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \sqrt{\frac{4 + x^{2}}{4}} + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Paso 31.1.12.6

Reescribe

$\frac{4 + x^{2}}{4}$ como

${(\frac{1}{2})}^{2} (4 + x^{2})$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 31.1.12.6.1

Factoriza la potencia perfecta

$1^{2}$ de

$4 + x^{2}$ .

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \sqrt{\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{4}} + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Paso 31.1.12.6.2

Factoriza la potencia perfecta

$2^{2}$ de

$4$ .

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \sqrt{\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{2^{2} \cdot 1}} + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Paso 31.1.12.6.3

Reorganiza la fracción

$\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{2^{2} \cdot 1}$ .

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (4 + x^{2})} + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Paso 31.1.12.7

Retira los términos de abajo del radical.

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \frac{1}{2} \sqrt{4 + x^{2}} + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Paso 31.1.12.8

Combina

$\frac{1}{2}$ y

$\sqrt{4 + x^{2}}$ .

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Paso 31.1.12.9

Las funciones tangente y arcotangente son inversas.

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{x}{2} |)) + C$

Paso 31.1.13

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \frac{\sqrt{4 + x^{2}} + x}{2} |)) + C$

Paso 31.1.14

Elimina los términos no negativos del valor absoluto.

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2})) + C$

Paso 31.2

Para escribir

$\ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2})$ como una fracción con un denominador común, multiplica por

$\frac{4}{4}$ .

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2}) \cdot \frac{4}{4}) + C$

Paso 31.3

Combina

$\ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2})$ y

$\frac{4}{4}$ .

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \frac{\ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2}) \cdot 4}{4}) + C$

Paso 31.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 \frac{\sqrt{4 + x^{2}} x + \ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2}) \cdot 4}{4} + C$

Paso 31.5

Mueve

$4$ a la izquierda de

$\ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2})$ .

$2 \frac{\sqrt{4 + x^{2}} x + 4 \ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2})}{4} + C$

Paso 31.6

Cancela el factor común de

$2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 31.6.1

Factoriza

$2$ de

$4$ .

$2 \frac{\sqrt{4 + x^{2}} x + 4 \ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2})}{2 (2)} + C$

Paso 31.6.2

Cancela el factor común.

$2 \frac{\sqrt{4 + x^{2}} x + 4 \ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2})}{2 \cdot 2} + C$

Paso 31.6.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x + 4 \ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2})}{2} + C$

Paso 32

Reordena los términos.

$\frac{1}{2} (\sqrt{4 + x^{2}} x + 4 \ln (\frac{1}{2} | \sqrt{4 + x^{2}} + x |)) + C$

Paso 33

La respuesta es la antiderivada de la función

$f (x) = \sqrt{x^{2} + 4}$ .

$F (x) =$

$\frac{1}{2} (\sqrt{4 + x^{2}} x + 4 \ln (\frac{1}{2} | \sqrt{4 + x^{2}} + x |)) + C$