Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{1} e^{1 - 2 x} d x$

Paso 1

Sea $u = 1 - 2 x$ . Entonces $d u = - 2 d x$ , de modo que $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = 1 - 2 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $1 - 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [1 - 2 x]$

Paso 1.1.2

Diferencia.

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Paso 1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - 2 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Paso 1.1.2.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 - 2 \cdot 1$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$0 - 2$

Paso 1.1.4

Resta $2$ de $0$ .

$- 2$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = 1 - 2 x$ .

$u_{lower} = 1 - 2 \cdot 0$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Multiplica $- 2$ por $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Paso 1.3.2

Suma $1$ y $0$ .

$u_{lower} = 1$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = 1 - 2 x$ .

$u_{upper} = 1 - 2 \cdot 1$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$u_{upper} = 1 - 2$

Paso 1.5.2

Resta $2$ de $1$ .

$u_{upper} = - 1$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = - 1$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{1}^{- 1} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int_{1}^{- 1} e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Paso 2.2

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{2}$ .

$\int_{1}^{- 1} - \frac{e^{u}}{2} d u$

Paso 3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int_{1}^{- 1} \frac{e^{u}}{2} d u$

Paso 4

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$- (\frac{1}{2} \int_{1}^{- 1} e^{u} d u)$

Paso 5

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$- \frac{1}{2} e^{u}]_{1}^{- 1}$

Paso 6

Sustituye y simplifica.

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Paso 6.1

Evalúa $e^{u}$ en $- 1$ y en $1$ .

$- \frac{1}{2} ((e^{- 1}) - e^{1})$

Paso 6.2

Simplifica.

$- \frac{1}{2} (e^{- 1} - e)$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{1}{e} - e)$

Paso 7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{e} - \frac{1}{2} (- e)$

Paso 7.3

Multiplica $\frac{1}{e}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{e \cdot 2} - \frac{1}{2} (- e)$

Paso 7.4

Multiplica $- \frac{1}{2} (- e)$ .

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Paso 7.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{1}{e \cdot 2} + 1 (\frac{1}{2}) e$

Paso 7.4.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$- \frac{1}{e \cdot 2} + \frac{1}{2} e$

Paso 7.4.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $e$ .

$- \frac{1}{e \cdot 2} + \frac{e}{2}$

Paso 7.5

Mueve $2$ a la izquierda de $e$ .

$- \frac{1}{2 e} + \frac{e}{2}$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \frac{1}{2 e} + \frac{e}{2}$

Forma decimal:

$1.17520119 \dots$

Paso 9