Cálculo Ejemplos

$y x^{y - 1}$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ es $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ donde $f (y) = y$ y $g (y) = x^{y - 1}$ .

$y \frac{d}{d y} [x^{y - 1}] + x^{y - 1} \frac{d}{d y} [y]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la potencia generalizada, que establece que $\frac{d}{d y} [f^{g}]$ es $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ donde $f = x$ y $g = y - 1$ .

$y (\frac{d}{d y} [x] ((y - 1) x^{y - 1 - 1}) + \frac{d}{d y} [y - 1] (x^{y - 1} \ln (x))) + x^{y - 1} \frac{d}{d y} [y]$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Resta $1$ de $- 1$ .

$y (\frac{d}{d y} [x] ((y - 1) x^{y - 2}) + \frac{d}{d y} [y - 1] (x^{y - 1} \ln (x))) + x^{y - 1} \frac{d}{d y} [y]$

Paso 3.2

Como $x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $x$ con respecto a $y$ es $0$ .

$y (0 ((y - 1) x^{y - 2}) + \frac{d}{d y} [y - 1] (x^{y - 1} \ln (x))) + x^{y - 1} \frac{d}{d y} [y]$

Paso 3.3

Simplifica la expresión.

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Paso 3.3.1

Multiplica $y - 1$ por $0$ .

$y (0 x^{y - 2} + \frac{d}{d y} [y - 1] (x^{y - 1} \ln (x))) + x^{y - 1} \frac{d}{d y} [y]$

Paso 3.3.2

Multiplica $0$ por $x^{y - 2}$ .

$y (0 + \frac{d}{d y} [y - 1] (x^{y - 1} \ln (x))) + x^{y - 1} \frac{d}{d y} [y]$

Paso 3.3.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d y} [y - 1] (x^{y - 1} \ln (x))$ .

$y (\frac{d}{d y} [y - 1] (x^{y - 1} \ln (x))) + x^{y - 1} \frac{d}{d y} [y]$

Paso 3.4

Según la regla de la suma, la derivada de $y - 1$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$y ((\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]) (x^{y - 1} \ln (x))) + x^{y - 1} \frac{d}{d y} [y]$

Paso 3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$y ((1 + \frac{d}{d y} [- 1]) x^{y - 1} \ln (x)) + x^{y - 1} \frac{d}{d y} [y]$

Paso 3.6

Como $- 1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $y$ es $0$ .

$y ((1 + 0) x^{y - 1} \ln (x)) + x^{y - 1} \frac{d}{d y} [y]$

Paso 3.7

Simplifica la expresión.

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Paso 3.7.1

Suma $1$ y $0$ .

$y (1 x^{y - 1} \ln (x)) + x^{y - 1} \frac{d}{d y} [y]$

Paso 3.7.2

Multiplica $x^{y - 1}$ por $1$ .

$y (x^{y - 1} \ln (x)) + x^{y - 1} \frac{d}{d y} [y]$

Paso 3.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$y (x^{y - 1} \ln (x)) + x^{y - 1} \cdot 1$

Paso 3.9

Multiplica $x^{y - 1}$ por $1$ .

$y (x^{y - 1} \ln (x)) + x^{y - 1}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Reordena los términos.

$x^{y - 1} y \ln (x) + x^{y - 1}$

Paso 4.2

Reordena los factores en $x^{y - 1} y \ln (x) + x^{y - 1}$ .

$y x^{y - 1} \ln (x) + x^{y - 1}$