Cálculo Ejemplos

$\int 15 x^{4} {(3 x^{5} - 9)}^{2} d x$

Paso 1

Sea $u = 3 x^{5} - 9$ . Entonces $d u = 15 x^{4} d x$ , de modo que $\frac{1}{15 x^{4}} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = 3 x^{5} - 9$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $3 x^{5} - 9$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{5} - 9]$

Paso 1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x^{5} - 9$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x^{5}]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{5}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 9]$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $5$ por $3$ .

$15 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 9]$

Paso 1.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.1.4.1

Como $- 9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 9$ con respecto a $x$ es $0$ .

$15 x^{4} + 0$

Paso 1.1.4.2

Suma $15 x^{4}$ y $0$ .

$15 x^{4}$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int u^{2} d u$

Paso 2

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{2}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{3} + C$

Paso 3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 x^{5} - 9$ .

$\frac{1}{3} {(3 x^{5} - 9)}^{3} + C$