Cálculo Ejemplos

$f (x) = 8 \cos (x) + 2$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $8 \cos (x) + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [8 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [8 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [8 \cos (x)]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8 \cos (x)$ con respecto a $x$ es $8 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.2.2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$8 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.2.3

Multiplica $- 1$ por $8$ .

$- 8 \sin (x) + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.3

Diferencia con la regla de la constante.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- 8 \sin (x) + 0$

Paso 1.3.2

Suma $- 8 \sin (x)$ y $0$ .

$- 8 \sin (x)$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Como $- 8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 8 \sin (x)$ con respecto a $x$ es $- 8 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{d}{d x} \sin (x)$

Paso 2.2

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 8 \cos (x)$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$- 8 \sin (x) = 0$

Paso 4

Divide cada término en $- 8 \sin (x) = 0$ por $- 8$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Divide cada término en $- 8 \sin (x) = 0$ por $- 8$ .

$\frac{- 8 \sin (x)}{- 8} = \frac{0}{- 8}$

Paso 4.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1

Cancela el factor común de $- 8$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 8 \sin (x)}{- 8} = \frac{0}{- 8}$

Paso 4.2.1.2

Divide $\sin (x)$ por $1$ .

$\sin (x) = \frac{0}{- 8}$

Paso 4.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1

Divide $0$ por $- 8$ .

$\sin (x) = 0$

Paso 5

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (0)$

Paso 6

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

El valor exacto de $\arcsin (0)$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 7

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$x = π - 0$

Paso 8

Resta $0$ de $π$ .

$x = π$

Paso 9

La solución a la ecuación $x = 0$ .

$x = 0, π$

Paso 10

Evalúa la segunda derivada en $x = 0$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- 8 \cos (0)$

Paso 11

Evalúa la segunda derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.1

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$- 8 \cdot 1$

Paso 11.2

Multiplica $- 8$ por $1$ .

$- 8$

Paso 12

$x = 0$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = 0$ es un máximo local

Paso 13

Obtén el valor de y cuando $x = 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = 8 \cos (0) + 2$

Paso 13.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.2.1.1

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$f (0) = 8 \cdot 1 + 2$

Paso 13.2.1.2

Multiplica $8$ por $1$ .

$f (0) = 8 + 2$

Paso 13.2.2

Suma $8$ y $2$ .

$f (0) = 10$

Paso 13.2.3

La respuesta final es $10$ .

$y = 10$

Paso 14

Evalúa la segunda derivada en $x = π$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- 8 \cos (π)$

Paso 15

Evalúa la segunda derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 15.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el coseno es negativo en el segundo cuadrante.

$- 8 (- \cos (0))$

Paso 15.2

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$- 8 (- 1 \cdot 1)$

Paso 15.3

Multiplica $- 8 (- 1 \cdot 1)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 15.3.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 8 \cdot - 1$

Paso 15.3.2

Multiplica $- 8$ por $- 1$ .

$8$

Paso 16

$x = π$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = π$ es un mínimo local

Paso 17

Obtén el valor de y cuando $x = π$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 17.1

Reemplaza la variable $x$ con $π$ en la expresión.

$f (π) = 8 \cos (π) + 2$

Paso 17.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 17.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 17.2.1.1

$f (π) = 8 (- \cos (0)) + 2$

Paso 17.2.1.2

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$f (π) = 8 (- 1 \cdot 1) + 2$

Paso 17.2.1.3

Multiplica $8 (- 1 \cdot 1)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 17.2.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f (π) = 8 \cdot - 1 + 2$

Paso 17.2.1.3.2

Multiplica $8$ por $- 1$ .

$f (π) = - 8 + 2$

Paso 17.2.2

Suma $- 8$ y $2$ .

$f (π) = - 6$

Paso 17.2.3

La respuesta final es $- 6$ .

$y = - 6$

Paso 18

Estos son los extremos locales de $f (x) = 8 \cos (x) + 2$ .

$(0, 10)$ es un máximo local

$(π, - 6)$ es un mínimo local

Paso 19