Cálculo Ejemplos

$\int 2 x^{2} \ln (x) d x$

Paso 1

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = \ln (x)$ y $d v = 2 x^{2}$ .

$\ln (x) (\frac{2}{3} x^{3}) - \int \frac{2}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Combina $\frac{2}{3}$ y $x^{3}$ .

$\ln (x) \frac{2 x^{3}}{3} - \int \frac{2}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2

Combina $\ln (x)$ y $\frac{2 x^{3}}{3}$ .

$\frac{\ln (x) (2 x^{3})}{3} - \int \frac{2}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x$

Paso 3

Dado que $\frac{2}{3}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{2}{3}$ fuera de la integral.

$\frac{\ln (x) (2 x^{3})}{3} - (\frac{2}{3} \int x^{3} \frac{1}{x} d x)$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Combina $x^{3}$ y $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln (x) (2 x^{3})}{3} - (\frac{2}{3} \int \frac{x^{3}}{x} d x)$

Paso 4.2

Cancela el factor común de $x^{3}$ y $x$ .

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Paso 4.2.1

Factoriza $x$ de $x^{3}$ .

$\frac{\ln (x) (2 x^{3})}{3} - (\frac{2}{3} \int \frac{x \cdot x^{2}}{x} d x)$

Paso 4.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\ln (x) (2 x^{3})}{3} - (\frac{2}{3} \int \frac{x \cdot x^{2}}{x^{1}} d x)$

Paso 4.2.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{\ln (x) (2 x^{3})}{3} - (\frac{2}{3} \int \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} d x)$

Paso 4.2.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{\ln (x) (2 x^{3})}{3} - (\frac{2}{3} \int \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} d x)$

Paso 4.2.2.4

Reescribe la expresión.

$\frac{\ln (x) (2 x^{3})}{3} - (\frac{2}{3} \int \frac{x^{2}}{1} d x)$

Paso 4.2.2.5

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$\frac{\ln (x) (2 x^{3})}{3} - (\frac{2}{3} \int x^{2} d x)$

$\frac{\ln (x) (2 x^{3})}{3} - \frac{2}{3} \int x^{2} d x$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{\ln (x) (2 x^{3})}{3} - \frac{2}{3} (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Paso 6

Simplifica la respuesta.

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Paso 6.1

Reescribe $\frac{\ln (x) (2 x^{3})}{3} - \frac{2}{3} (\frac{1}{3} x^{3} + C)$ como $\frac{2}{3} \ln (x) x^{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C$ .

$\frac{2}{3} \ln (x) x^{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C$

Paso 6.2

Simplifica.

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Paso 6.2.1

Combina $\frac{2}{3}$ y $\ln (x)$ .

$\frac{2 \ln (x)}{3} x^{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C$

Paso 6.2.2

Combina $\frac{2 \ln (x)}{3}$ y $x^{3}$ .

$\frac{2 \ln (x) x^{3}}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C$

Paso 6.2.3

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2 \ln (x) x^{3}}{3} - \frac{2}{3 \cdot 3} x^{3} + C$

Paso 6.2.4

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{2 \ln (x) x^{3}}{3} - \frac{2}{9} x^{3} + C$

$\frac{2}{3} \ln (x) x^{3} - \frac{2}{9} x^{3} + C$