Cálculo Ejemplos

$\int_{1}^{2} 2 x^{2} \sqrt{x^{3} + 1} d x$

Paso 1

Sea $u = x^{3} + 1$ . Entonces $d u = 3 x^{2} d x$ , de modo que $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = x^{3} + 1$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $x^{3} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Paso 1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$3 x^{2} + 0$

Paso 1.1.5

Suma $3 x^{2}$ y $0$ .

$3 x^{2}$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = x^{3} + 1$ .

$u_{lower} = 1^{3} + 1$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$u_{lower} = 1 + 1$

Paso 1.3.2

Suma $1$ y $1$ .

$u_{lower} = 2$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = x^{3} + 1$ .

$u_{upper} = 2^{3} + 1$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$u_{upper} = 8 + 1$

Paso 1.5.2

Suma $8$ y $1$ .

$u_{upper} = 9$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 9$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{2}^{9} 2 \sqrt{u} \frac{1}{3} d u$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $2$ .

$\int_{2}^{9} \frac{2}{3} \sqrt{u} d u$

Paso 2.2

Combina $\frac{2}{3}$ y $\sqrt{u}$ .

$\int_{2}^{9} \frac{2 \sqrt{u}}{3} d u$

Paso 3

Dado que $\frac{2}{3}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{2}{3}$ fuera de la integral.

$\frac{2}{3} \int_{2}^{9} \sqrt{u} d u$

Paso 4

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{3} \int_{2}^{9} u^{\frac{1}{2}} d u$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{2}^{9}$

Paso 6

Simplifica la expresión.

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Paso 6.1

Evalúa $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ en $9$ y en $2$ .

$\frac{2}{3} ((\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.2

Simplifica.

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Paso 6.2.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{2}{3} \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.2.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{2}{3} (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.2.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{3} (\frac{2}{3} \cdot 3^{3} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.2.4

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$\frac{2}{3} (\frac{2}{3} \cdot 27 - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.3

Simplifica.

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Paso 6.3.1

Combina $\frac{2}{3}$ y $27$ .

$\frac{2}{3} (\frac{2 \cdot 27}{3} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.3.2

Multiplica $2$ por $27$ .

$\frac{2}{3} (\frac{54}{3} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.3.3

Cancela el factor común de $54$ y $3$ .

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Paso 6.3.3.1

Factoriza $3$ de $54$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3 \cdot 18}{3} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.3.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.3.3.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3 \cdot 18}{3 (1)} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.3.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2}{3} (\frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.3.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{3} (\frac{18}{1} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.3.3.2.4

Divide $18$ por $1$ .

$\frac{2}{3} (18 - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.4

Simplifica.

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Paso 6.4.1

Combina $2^{\frac{3}{2}}$ y $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} (18 - \frac{2^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3})$

Paso 6.4.2

Multiplica $2^{\frac{3}{2}}$ por $2$ sumando los exponentes.

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Paso 6.4.2.1

Multiplica $2^{\frac{3}{2}}$ por $2$ .

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Paso 6.4.2.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2}{3} (18 - \frac{2^{\frac{3}{2}} \cdot 2^{1}}{3})$

Paso 6.4.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2}{3} (18 - \frac{2^{\frac{3}{2} + 1}}{3})$

Paso 6.4.2.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{2}{3} (18 - \frac{2^{\frac{3}{2} + \frac{2}{2}}}{3})$

Paso 6.4.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2}{3} (18 - \frac{2^{\frac{3 + 2}{2}}}{3})$

Paso 6.4.2.4

Suma $3$ y $2$ .

$\frac{2}{3} (18 - \frac{2^{\frac{5}{2}}}{3})$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{2}{3} \cdot (18 - \frac{2^{\frac{5}{2}}}{3})$

Forma decimal:

$10.74292127 \dots$