Cálculo Ejemplos

$lim_{r \to - \frac{3}{2}} \frac{\sqrt{31 - 12 r^{2}}}{16 r^{3} + 10}$

Paso 1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $r$ se aproxima a $- \frac{3}{2}$ .

$\frac{lim_{r \to - \frac{3}{2}} \sqrt{31 - 12 r^{2}}}{lim_{r \to - \frac{3}{2}} 16 r^{3} + 10}$

Paso 2

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{\sqrt{lim_{r \to - \frac{3}{2}} 31 - 12 r^{2}}}{lim_{r \to - \frac{3}{2}} 16 r^{3} + 10}$

Paso 3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $r$ se aproxima a $- \frac{3}{2}$ .

$\frac{\sqrt{lim_{r \to - \frac{3}{2}} 31 - lim_{r \to - \frac{3}{2}} 12 r^{2}}}{lim_{r \to - \frac{3}{2}} 16 r^{3} + 10}$

Paso 4

Evalúa el límite de $31$ que es constante cuando $r$ se acerca a $- \frac{3}{2}$ .

$\frac{\sqrt{31 - lim_{r \to - \frac{3}{2}} 12 r^{2}}}{lim_{r \to - \frac{3}{2}} 16 r^{3} + 10}$

Paso 5

Mueve el término $12$ fuera del límite porque es constante con respecto a $r$ .

$\frac{\sqrt{31 - 12 lim_{r \to - \frac{3}{2}} r^{2}}}{lim_{r \to - \frac{3}{2}} 16 r^{3} + 10}$

Paso 6

Mueve el exponente $2$ de $r^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{\sqrt{31 - 12 {(lim_{r \to - \frac{3}{2}} r)}^{2}}}{lim_{r \to - \frac{3}{2}} 16 r^{3} + 10}$

Paso 7

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $r$ se aproxima a $- \frac{3}{2}$ .

$\frac{\sqrt{31 - 12 {(lim_{r \to - \frac{3}{2}} r)}^{2}}}{lim_{r \to - \frac{3}{2}} 16 r^{3} + lim_{r \to - \frac{3}{2}} 10}$

Paso 8

Mueve el término $16$ fuera del límite porque es constante con respecto a $r$ .

$\frac{\sqrt{31 - 12 {(lim_{r \to - \frac{3}{2}} r)}^{2}}}{16 lim_{r \to - \frac{3}{2}} r^{3} + lim_{r \to - \frac{3}{2}} 10}$

Paso 9

Mueve el exponente $3$ de $r^{3}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{\sqrt{31 - 12 {(lim_{r \to - \frac{3}{2}} r)}^{2}}}{16 {(lim_{r \to - \frac{3}{2}} r)}^{3} + lim_{r \to - \frac{3}{2}} 10}$

Paso 10

Evalúa el límite de $10$ que es constante cuando $r$ se acerca a $- \frac{3}{2}$ .

$\frac{\sqrt{31 - 12 {(lim_{r \to - \frac{3}{2}} r)}^{2}}}{16 {(lim_{r \to - \frac{3}{2}} r)}^{3} + 10}$

Paso 11

Evalúa los límites mediante el ingreso de $- \frac{3}{2}$ para todos los casos de $r$ .

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Paso 11.1

Evalúa el límite de $r$ mediante el ingreso de $- \frac{3}{2}$ para $r$ .

$\frac{\sqrt{31 - 12 {(- \frac{3}{2})}^{2}}}{16 {(lim_{r \to - \frac{3}{2}} r)}^{3} + 10}$

Paso 11.2

Evalúa el límite de $r$ mediante el ingreso de $- \frac{3}{2}$ para $r$ .

$\frac{\sqrt{31 - 12 {(- \frac{3}{2})}^{2}}}{16 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 10}$

Paso 12

Simplifica la respuesta.

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Paso 12.1

Simplifica el numerador.

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Paso 12.1.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 12.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{3}{2}$ .

$\frac{\sqrt{31 - 12 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2})}}{16 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 10}$

Paso 12.1.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{3}{2}$ .

$\frac{\sqrt{31 - 12 ({(- 1)}^{2} \frac{3^{2}}{2^{2}})}}{16 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 10}$

Paso 12.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$\frac{\sqrt{31 - 12 (1 \frac{3^{2}}{2^{2}})}}{16 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 10}$

Paso 12.1.3

Multiplica $\frac{3^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$\frac{\sqrt{31 - 12 \frac{3^{2}}{2^{2}}}}{16 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 10}$

Paso 12.1.4

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\frac{\sqrt{31 - 12 \frac{9}{2^{2}}}}{16 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 10}$

Paso 12.1.5

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{\sqrt{31 - 12 (\frac{9}{4})}}{16 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 10}$

Paso 12.1.6

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 12.1.6.1

Factoriza $4$ de $- 12$ .

$\frac{\sqrt{31 + 4 (- 3) \frac{9}{4}}}{16 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 10}$

Paso 12.1.6.2

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{31 + 4 \cdot - 3 \frac{9}{4}}}{16 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 10}$

Paso 12.1.6.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{31 - 3 \cdot 9}}{16 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 10}$

Paso 12.1.7

Multiplica $- 3$ por $9$ .

$\frac{\sqrt{31 - 27}}{16 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 10}$

Paso 12.1.8

Resta $27$ de $31$ .

$\frac{\sqrt{4}}{16 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 10}$

Paso 12.1.9

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2}}}{16 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 10}$

Paso 12.1.10

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{2}{16 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 10}$

Paso 12.2

Simplifica el denominador.

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Paso 12.2.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 12.2.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{3}{2}$ .

$\frac{2}{16 ({(- 1)}^{3} {(\frac{3}{2})}^{3}) + 10}$

Paso 12.2.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{3}{2}$ .

$\frac{2}{16 ({(- 1)}^{3} \frac{3^{3}}{2^{3}}) + 10}$

Paso 12.2.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$\frac{2}{16 (- \frac{3^{3}}{2^{3}}) + 10}$

Paso 12.2.3

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$\frac{2}{16 (- \frac{27}{2^{3}}) + 10}$

Paso 12.2.4

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$\frac{2}{16 (- \frac{27}{8}) + 10}$

Paso 12.2.5

Cancela el factor común de $8$ .

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Paso 12.2.5.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{27}{8}$ al numerador.

$\frac{2}{16 (\frac{- 27}{8}) + 10}$

Paso 12.2.5.2

Factoriza $8$ de $16$ .

$\frac{2}{8 (2) \frac{- 27}{8} + 10}$

Paso 12.2.5.3

Cancela el factor común.

$\frac{2}{8 \cdot 2 \frac{- 27}{8} + 10}$

Paso 12.2.5.4

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{2 \cdot - 27 + 10}$

Paso 12.2.6

Multiplica $2$ por $- 27$ .

$\frac{2}{- 54 + 10}$

Paso 12.2.7

Suma $- 54$ y $10$ .

$\frac{2}{- 44}$

Paso 12.3

Cancela el factor común de $2$ y $- 44$ .

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Paso 12.3.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (1)}{- 44}$

Paso 12.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 12.3.2.1

Factoriza $2$ de $- 44$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 22}$

Paso 12.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 22}$

Paso 12.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{- 22}$

Paso 12.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{22}$

Paso 13

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \frac{1}{22}$

Forma decimal:

$- 0.0\overline{45}$