Cálculo Ejemplos

$\int_{1}^{6} \frac{9}{4 \sqrt[4]{3 x - 2}} d x$

Paso 1

Dado que $\frac{9}{4}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{9}{4}$ fuera de la integral.

$\frac{9}{4} \int_{1}^{6} \frac{1}{\sqrt[4]{3 x - 2}} d x$

Paso 2

Sea $u = 3 x - 2$ . Entonces $d u = 3 d x$ , de modo que $\frac{1}{3} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.1

Deja $u = 3 x - 2$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $3 x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [3 x - 2]$

Paso 2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Paso 2.1.3.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 2.1.3.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 2.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.1.4.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$3 + 0$

Paso 2.1.4.2

Suma $3$ y $0$ .

$3$

Paso 2.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = 3 x - 2$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 1 - 2$

Paso 2.3

Simplifica.

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Paso 2.3.1

Multiplica $3$ por $1$ .

$u_{lower} = 3 - 2$

Paso 2.3.2

Resta $2$ de $3$ .

$u_{lower} = 1$

Paso 2.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = 3 x - 2$ .

$u_{upper} = 3 \cdot 6 - 2$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Multiplica $3$ por $6$ .

$u_{upper} = 18 - 2$

Paso 2.5.2

Resta $2$ de $18$ .

$u_{upper} = 16$

Paso 2.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 16$

Paso 2.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\frac{9}{4} \int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt[4]{u}} \cdot \frac{1}{3} d u$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt[4]{u}}$ por $\frac{1}{3}$ .

$\frac{9}{4} \int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt[4]{u} \cdot 3} d u$

Paso 3.2

Mueve $3$ a la izquierda de $\sqrt[4]{u}$ .

$\frac{9}{4} \int_{1}^{16} \frac{1}{3 \sqrt[4]{u}} d u$

Paso 4

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$\frac{9}{4} (\frac{1}{3} \int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt[4]{u}} d u)$

Paso 5

Simplifica la expresión.

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Paso 5.1

Simplifica.

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Paso 5.1.1

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{9}{4}$ .

$\frac{9}{3 \cdot 4} \int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt[4]{u}} d u$

Paso 5.1.2

Multiplica $3$ por $4$ .

$\frac{9}{12} \int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt[4]{u}} d u$

Paso 5.1.3

Cancela el factor común de $9$ y $12$ .

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Paso 5.1.3.1

Factoriza $3$ de $9$ .

$\frac{3 (3)}{12} \int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt[4]{u}} d u$

Paso 5.1.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.1.3.2.1

Factoriza $3$ de $12$ .

$\frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 4} \int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt[4]{u}} d u$

Paso 5.1.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 4} \int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt[4]{u}} d u$

Paso 5.1.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{3}{4} \int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt[4]{u}} d u$

Paso 5.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 5.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[4]{u}$ como $u^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{3}{4} \int_{1}^{16} \frac{1}{u^{\frac{1}{4}}} d u$

Paso 5.2.2

Mueve $u^{\frac{1}{4}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\frac{3}{4} \int_{1}^{16} {(u^{\frac{1}{4}})}^{- 1} d u$

Paso 5.2.3

Multiplica los exponentes en ${(u^{\frac{1}{4}})}^{- 1}$ .

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Paso 5.2.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{4} \int_{1}^{16} u^{\frac{1}{4} \cdot - 1} d u$

Paso 5.2.3.2

Combina $\frac{1}{4}$ y $- 1$ .

$\frac{3}{4} \int_{1}^{16} u^{\frac{- 1}{4}} d u$

Paso 5.2.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{3}{4} \int_{1}^{16} u^{- \frac{1}{4}} d u$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- \frac{1}{4}}$ con respecto a $u$ es $\frac{4}{3} u^{\frac{3}{4}}$ .

$\frac{3}{4} \frac{4}{3} u^{\frac{3}{4}}]_{1}^{16}$

Paso 7

Sustituye y simplifica.

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Paso 7.1

Evalúa $\frac{4}{3} u^{\frac{3}{4}}$ en $16$ y en $1$ .

$\frac{3}{4} ((\frac{4}{3} \cdot 16^{\frac{3}{4}}) - \frac{4}{3} \cdot 1^{\frac{3}{4}})$

Paso 7.2

Simplifica.

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Paso 7.2.1

Reescribe $16$ como $2^{4}$ .

$\frac{3}{4} (\frac{4}{3} \cdot {(2^{4})}^{\frac{3}{4}} - \frac{4}{3} \cdot 1^{\frac{3}{4}})$

Paso 7.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{4} (\frac{4}{3} \cdot 2^{4 (\frac{3}{4})} - \frac{4}{3} \cdot 1^{\frac{3}{4}})$

Paso 7.2.3

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 7.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{3}{4} (\frac{4}{3} \cdot 2^{4 (\frac{3}{4})} - \frac{4}{3} \cdot 1^{\frac{3}{4}})$

Paso 7.2.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{3}{4} (\frac{4}{3} \cdot 2^{3} - \frac{4}{3} \cdot 1^{\frac{3}{4}})$

Paso 7.2.4

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$\frac{3}{4} (\frac{4}{3} \cdot 8 - \frac{4}{3} \cdot 1^{\frac{3}{4}})$

Paso 7.2.5

Combina $\frac{4}{3}$ y $8$ .

$\frac{3}{4} (\frac{4 \cdot 8}{3} - \frac{4}{3} \cdot 1^{\frac{3}{4}})$

Paso 7.2.6

Multiplica $4$ por $8$ .

$\frac{3}{4} (\frac{32}{3} - \frac{4}{3} \cdot 1^{\frac{3}{4}})$

Paso 7.2.7

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{3}{4} (\frac{32}{3} - \frac{4}{3} \cdot 1)$

Paso 7.2.8

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{3}{4} (\frac{32}{3} - \frac{4}{3})$

Paso 7.2.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{3}{4} \cdot \frac{32 - 4}{3}$

Paso 7.2.10

Resta $4$ de $32$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{28}{3}$

Paso 7.2.11

Multiplica $\frac{3}{4}$ por $\frac{28}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 28}{4 \cdot 3}$

Paso 7.2.12

Multiplica $3$ por $28$ .

$\frac{84}{4 \cdot 3}$

Paso 7.2.13

Multiplica $4$ por $3$ .

$\frac{84}{12}$

Paso 7.2.14

Cancela el factor común de $84$ y $12$ .

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Paso 7.2.14.1

Factoriza $12$ de $84$ .

$\frac{12 \cdot 7}{12}$

Paso 7.2.14.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.2.14.2.1

Factoriza $12$ de $12$ .

$\frac{12 \cdot 7}{12 (1)}$

Paso 7.2.14.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{12 \cdot 7}{12 \cdot 1}$

Paso 7.2.14.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{7}{1}$

Paso 7.2.14.2.4

Divide $7$ por $1$ .

$7$

Paso 8