Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \infty} \frac{4 (4 - x) (x - 5)}{13 (x - 1) (x + 8)}$

Paso 1

Mueve el término $\frac{4}{13}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{4}{13} lim_{x \to \infty} \frac{(4 - x) (x - 5)}{(x - 1) (x + 8)}$

Paso 2

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 2.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 2.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{4}{13} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} (4 - x) (x - 5)}{lim_{x \to \infty} (x - 1) (x + 8)}$

Paso 2.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 2.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4}{13} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} 4 (x - 5) - x (x - 5)}{lim_{x \to \infty} (x - 1) (x + 8)}$

Paso 2.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4}{13} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} 4 x + 4 \cdot - 5 - x (x - 5)}{lim_{x \to \infty} (x - 1) (x + 8)}$

Paso 2.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4}{13} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} 4 x + 4 \cdot - 5 - x \cdot x - x \cdot - 5}{lim_{x \to \infty} (x - 1) (x + 8)}$

Paso 2.1.2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 2.1.2.4.1

Mueve $x$ .

$\frac{4}{13} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} 4 x + 4 \cdot - 5 - x \cdot x - 1 \cdot - 5 x}{lim_{x \to \infty} (x - 1) (x + 8)}$

Paso 2.1.2.4.2

Multiplica $4$ por $- 5$ .

$\frac{4}{13} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} 4 x - 20 - x \cdot x - 1 \cdot - 5 x}{lim_{x \to \infty} (x - 1) (x + 8)}$

Paso 2.1.2.5

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{4}{13} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} 4 x - 20 - x^{1} x - 1 \cdot - 5 x}{lim_{x \to \infty} (x - 1) (x + 8)}$

Paso 2.1.2.6

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{4}{13} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} 4 x - 20 - x^{1} x^{1} - 1 \cdot - 5 x}{lim_{x \to \infty} (x - 1) (x + 8)}$

Paso 2.1.2.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{4}{13} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} 4 x - 20 - x^{1 + 1} - 1 \cdot - 5 x}{lim_{x \to \infty} (x - 1) (x + 8)}$

Paso 2.1.2.8

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 2.1.2.8.1

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{4}{13} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} 4 x - 20 - x^{2} - 1 \cdot - 5 x}{lim_{x \to \infty} (x - 1) (x + 8)}$

Paso 2.1.2.8.2

Simplifica la expresión.

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Paso 2.1.2.8.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 5$ .

$\frac{4}{13} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} 4 x - 20 - x^{2} + 5 x}{lim_{x \to \infty} (x - 1) (x + 8)}$

Paso 2.1.2.8.2.2

Mueve $- 20$ .

$\frac{4}{13} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} 4 x - x^{2} + 5 x - 20}{lim_{x \to \infty} (x - 1) (x + 8)}$

Paso 2.1.2.8.2.3

Mueve $4 x$ .

$\frac{4}{13} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} - x^{2} + 5 x + 4 x - 20}{lim_{x \to \infty} (x - 1) (x + 8)}$

Paso 2.1.2.8.3

Suma $5 x$ y $4 x$ .

$\frac{4}{13} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} - x^{2} + 9 x - 20}{lim_{x \to \infty} (x - 1) (x + 8)}$

Paso 2.1.2.9

El límite al infinito de un polinomio con coeficiente principal negativo es infinito negativo.

$\frac{4}{13} \cdot \frac{- \infty}{lim_{x \to \infty} (x - 1) (x + 8)}$

Paso 2.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 2.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4}{13} \cdot \frac{- \infty}{lim_{x \to \infty} x (x + 8) - 1 (x + 8)}$

Paso 2.1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4}{13} \cdot \frac{- \infty}{lim_{x \to \infty} x \cdot x + x \cdot 8 - 1 (x + 8)}$

Paso 2.1.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4}{13} \cdot \frac{- \infty}{lim_{x \to \infty} x \cdot x + x \cdot 8 - 1 x - 1 \cdot 8}$

Paso 2.1.3.4

Reordena $x$ y $8$ .

$\frac{4}{13} \cdot \frac{- \infty}{lim_{x \to \infty} x \cdot x + 8 \cdot x - 1 x - 1 \cdot 8}$

Paso 2.1.3.5

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{4}{13} \cdot \frac{- \infty}{lim_{x \to \infty} x^{1} x + 8 x - 1 x - 1 \cdot 8}$

Paso 2.1.3.6

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{4}{13} \cdot \frac{- \infty}{lim_{x \to \infty} x^{1} x^{1} + 8 x - 1 x - 1 \cdot 8}$

Paso 2.1.3.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{4}{13} \cdot \frac{- \infty}{lim_{x \to \infty} x^{1 + 1} + 8 x - 1 x - 1 \cdot 8}$

Paso 2.1.3.8

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 2.1.3.8.1

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{4}{13} \cdot \frac{- \infty}{lim_{x \to \infty} x^{2} + 8 x - 1 x - 1 \cdot 8}$

Paso 2.1.3.8.2

Multiplica $- 1$ por $8$ .

$\frac{4}{13} \cdot \frac{- \infty}{lim_{x \to \infty} x^{2} + 8 x - 1 x - 8}$

Paso 2.1.3.8.3

Resta $1 x$ de $8 x$ .

$\frac{4}{13} \cdot \frac{- \infty}{lim_{x \to \infty} x^{2} + 7 x - 8}$

Paso 2.1.3.9

El límite al infinito de un polinomio con coeficiente principal positivo es infinito.

$\frac{4}{13} \cdot \frac{- \infty}{\infty}$

Paso 2.1.3.10

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$\frac{4}{13} \cdot \frac{- \infty}{\infty}$

Paso 2.1.4

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$\frac{4}{13} \cdot \frac{- \infty}{\infty}$

Paso 2.2

Como $\frac{- \infty}{\infty}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{(4 - x) (x - 5)}{(x - 1) (x + 8)} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(4 - x) (x - 5)]}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x + 8)]}$

Paso 2.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 2.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$\frac{4}{13} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(4 - x) (x - 5)]}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x + 8)]}$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = 4 - x$ y $g (x) = x - 5$ .

$\frac{4}{13} lim_{x \to \infty} \frac{(4 - x) \frac{d}{d x} [x - 5] + (x - 5) \frac{d}{d x} [4 - x]}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x + 8)]}$

Paso 2.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{4}{13} lim_{x \to \infty} \frac{(4 - x) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x - 5) \frac{d}{d x} [4 - x]}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x + 8)]}$

Paso 2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{4}{13} lim_{x \to \infty} \frac{(4 - x) (1 + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x - 5) \frac{d}{d x} [4 - x]}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x + 8)]}$

Paso 2.3.5

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{4}{13} lim_{x \to \infty} \frac{(4 - x) (1 + 0) + (x - 5) \frac{d}{d x} [4 - x]}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x + 8)]}$

Paso 2.3.6

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{4}{13} lim_{x \to \infty} \frac{(4 - x) \cdot 1 + (x - 5) \frac{d}{d x} [4 - x]}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x + 8)]}$

Paso 2.3.7

Multiplica $4 - x$ por $1$ .

$\frac{4}{13} lim_{x \to \infty} \frac{4 - x + (x - 5) \frac{d}{d x} [4 - x]}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x + 8)]}$

Paso 2.3.8

Según la regla de la suma, la derivada de $4 - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{4}{13} lim_{x \to \infty} \frac{4 - x + (x - 5) (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x + 8)]}$

Paso 2.3.9

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{4}{13} lim_{x \to \infty} \frac{4 - x + (x - 5) (0 + \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x + 8)]}$

Paso 2.3.10

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{4}{13} lim_{x \to \infty} \frac{4 - x + (x - 5) \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x + 8)]}$

Paso 2.3.11

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{4}{13} lim_{x \to \infty} \frac{4 - x + (x - 5) \cdot - 1 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x + 8)]}$

Paso 2.3.12

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{4}{13} lim_{x \to \infty} \frac{4 - x + (x - 5) \cdot - 1 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x + 8)]}$

Paso 2.3.13

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{4}{13} lim_{x \to \infty} \frac{4 - x + (x - 5) \cdot - 1}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x + 8)]}$

Paso 2.3.14

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x - 5$ .

$\frac{4}{13} lim_{x \to \infty} \frac{4 - x - 1 \cdot (x - 5)}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x + 8)]}$

Paso 2.3.15

Reescribe $- 1 (x - 5)$ como $- (x - 5)$ .

$\frac{4}{13} lim_{x \to \infty} \frac{4 - x - (x - 5)}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x + 8)]}$

Paso 2.3.16

Simplifica.

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Paso 2.3.16.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4}{13} lim_{x \to \infty} \frac{4 - x - x - - 5}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x + 8)]}$

Paso 2.3.16.2

Combina los términos.

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Paso 2.3.16.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 5$ .

$\frac{4}{13} lim_{x \to \infty} \frac{4 - x - x + 5}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x + 8)]}$

Paso 2.3.16.2.2

Resta $x$ de $- x$ .

$\frac{4}{13} lim_{x \to \infty} \frac{4 - 2 x + 5}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x + 8)]}$

Paso 2.3.16.2.3

Suma $4$ y $5$ .

$\frac{4}{13} lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x + 9}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x + 8)]}$

Paso 2.3.17

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x - 1$ y $g (x) = x + 8$ .

$\frac{4}{13} lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x + 9}{(x - 1) \frac{d}{d x} [x + 8] + (x + 8) \frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 2.3.18

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 8$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{4}{13} lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x + 9}{(x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]) + (x + 8) \frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 2.3.19

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{4}{13} lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x + 9}{(x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [8]) + (x + 8) \frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 2.3.20

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{4}{13} lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x + 9}{(x - 1) (1 + 0) + (x + 8) \frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 2.3.21

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{4}{13} lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x + 9}{(x - 1) \cdot 1 + (x + 8) \frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 2.3.22

Multiplica $x - 1$ por $1$ .

$\frac{4}{13} lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x + 9}{x - 1 + (x + 8) \frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 2.3.23

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{4}{13} lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x + 9}{x - 1 + (x + 8) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}$

Paso 2.3.24

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{4}{13} lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x + 9}{x - 1 + (x + 8) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}$

Paso 2.3.25

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{4}{13} lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x + 9}{x - 1 + (x + 8) (1 + 0)}$

Paso 2.3.26

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{4}{13} lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x + 9}{x - 1 + (x + 8) \cdot 1}$

Paso 2.3.27

Multiplica $x + 8$ por $1$ .

$\frac{4}{13} lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x + 9}{x - 1 + x + 8}$

Paso 2.3.28

Suma $x$ y $x$ .

$\frac{4}{13} lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x + 9}{2 x - 1 + 8}$

Paso 2.3.29

Suma $- 1$ y $8$ .

$\frac{4}{13} lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x + 9}{2 x + 7}$

Paso 3

Divide el numerador y denominador por la potencia más alta de $x$ en el denominador, que es $x$ .

$\frac{4}{13} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 2 x}{x} + \frac{9}{x}}{\frac{2 x}{x} + \frac{7}{x}}$

Paso 4

Evalúa el límite.

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Paso 4.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 4.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4}{13} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 2 x}{x} + \frac{9}{x}}{\frac{2 x}{x} + \frac{7}{x}}$

Paso 4.1.2

Divide $- 2$ por $1$ .

$\frac{4}{13} lim_{x \to \infty} \frac{- 2 + \frac{9}{x}}{\frac{2 x}{x} + \frac{7}{x}}$

Paso 4.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 4.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{4}{13} lim_{x \to \infty} \frac{- 2 + \frac{9}{x}}{\frac{2 x}{x} + \frac{7}{x}}$

Paso 4.2.2

Divide $2$ por $1$ .

$\frac{4}{13} lim_{x \to \infty} \frac{- 2 + \frac{9}{x}}{2 + \frac{7}{x}}$

Paso 4.3

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{4}{13} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} - 2 + \frac{9}{x}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{7}{x}}$

Paso 4.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{4}{13} \cdot \frac{- lim_{x \to \infty} 2 + lim_{x \to \infty} \frac{9}{x}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{7}{x}}$

Paso 4.5

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{4}{13} \cdot \frac{- 1 \cdot 2 + lim_{x \to \infty} \frac{9}{x}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{7}{x}}$

Paso 4.6

Mueve el término $9$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{4}{13} \cdot \frac{- 2 + 9 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{7}{x}}$

Paso 5

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca a $0$ .

$\frac{4}{13} \cdot \frac{- 2 + 9 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{7}{x}}$

Paso 6

Evalúa el límite.

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Paso 6.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{4}{13} \cdot \frac{- 2 + 9 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 2 + lim_{x \to \infty} \frac{7}{x}}$

Paso 6.2

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{4}{13} \cdot \frac{- 2 + 9 \cdot 0}{2 + lim_{x \to \infty} \frac{7}{x}}$

Paso 6.3

Mueve el término $7$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{4}{13} \cdot \frac{- 2 + 9 \cdot 0}{2 + 7 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Paso 7

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca a $0$ .

$\frac{4}{13} \cdot \frac{- 2 + 9 \cdot 0}{2 + 7 \cdot 0}$

Paso 8

Simplifica la respuesta.

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Paso 8.1

Simplifica el numerador.

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Paso 8.1.1

Multiplica $9$ por $0$ .

$\frac{4}{13} \cdot \frac{- 2 + 0}{2 + 7 \cdot 0}$

Paso 8.1.2

Suma $- 2$ y $0$ .

$\frac{4}{13} \cdot \frac{- 2}{2 + 7 \cdot 0}$

Paso 8.2

Simplifica el denominador.

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Paso 8.2.1

Multiplica $7$ por $0$ .

$\frac{4}{13} \cdot \frac{- 2}{2 + 0}$

Paso 8.2.2

Suma $2$ y $0$ .

$\frac{4}{13} \cdot \frac{- 2}{2}$

Paso 8.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.3.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{2 (2)}{13} \cdot \frac{- 2}{2}$

Paso 8.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 2}{13} \cdot \frac{- 2}{2}$

Paso 8.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{13} \cdot - 2$

Paso 8.4

Combina $\frac{2}{13}$ y $- 2$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{13}$

Paso 8.5

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$\frac{- 4}{13}$

Paso 8.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{4}{13}$

Paso 9

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \frac{4}{13}$

Forma decimal:

$- 0.\overline{307692}$