Cálculo Ejemplos

$\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)$

Paso 1

Escribe $\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)$ como una función.

$f (x) = \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x) d x$

Paso 4

Divide la única integral en varias integrales.

$\int \sin^{2} (x) d x + \int - \cos^{2} (x) d x$

Paso 5

Usa la fórmula del ángulo mitad para reescribir $\sin^{2} (x)$ como $\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ .

$\int \frac{1 - \cos (2 x)}{2} d x + \int - \cos^{2} (x) d x$

Paso 6

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 x) d x + \int - \cos^{2} (x) d x$

Paso 7

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{1}{2} (\int d x + \int - \cos (2 x) d x) + \int - \cos^{2} (x) d x$

Paso 8

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{2} (x + C + \int - \cos (2 x) d x) + \int - \cos^{2} (x) d x$

Paso 9

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} (x + C - \int \cos (2 x) d x) + \int - \cos^{2} (x) d x$

Paso 10

Sea $u_{1} = 2 x$ . Entonces $d u_{1} = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 10.1

Deja $u_{1} = 2 x$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 10.1.1

Diferencia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 10.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 10.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 10.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 10.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$\frac{1}{2} (x + C - \int \cos (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}) + \int - \cos^{2} (x) d x$

Paso 11

Combina $\cos (u_{1})$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (x + C - \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}) + \int - \cos^{2} (x) d x$

Paso 12

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} (x + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u_{1}) d u_{1})) + \int - \cos^{2} (x) d x$

Paso 13

La integral de $\cos (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\sin (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} (x + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) + \int - \cos^{2} (x) d x$

Paso 14

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} (x + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \int \cos^{2} (x) d x$

Paso 15

Usa la fórmula del ángulo mitad para reescribir $\cos^{2} (x)$ como $\frac{1 + \cos (2 x)}{2}$ .

$\frac{1}{2} (x + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \int \frac{1 + \cos (2 x)}{2} d x$

Paso 16

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} (x + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 x) d x)$

Paso 17

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{1}{2} (x + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} (\int d x + \int \cos (2 x) d x)$

Paso 18

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{2} (x + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} (x + C + \int \cos (2 x) d x)$

Paso 19

Sea $u_{2} = 2 x$ . Entonces $d u_{2} = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 19.1

Deja $u_{2} = 2 x$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 19.1.1

Diferencia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 19.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 19.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 19.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 19.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} (x + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} (x + C + \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

Paso 20

Combina $\cos (u_{2})$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (x + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} (x + C + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Paso 21

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} (x + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} (x + C + \frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2})$

Paso 22

La integral de $\cos (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{2} (x + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} (x + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C))$

Paso 23

Simplifica.

$\frac{1}{2} (x - \frac{1}{2} \sin (u_{1})) - \frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Paso 24

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 24.1

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $2 x$ .

$\frac{1}{2} (x - \frac{1}{2} \sin (2 x)) - \frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Paso 24.2

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $2 x$ .

$\frac{1}{2} (x - \frac{1}{2} \sin (2 x)) - \frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (2 x)) + C$

Paso 25

Simplifica.

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Paso 25.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $\sin (2 x)$ .

$\frac{1}{2} (x - \frac{1}{2} \sin (2 x)) - \frac{1}{2} (x + \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

Paso 25.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{2} (x - \frac{1}{2} \sin (2 x)) - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

Paso 25.3

Combina $x$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (x - \frac{1}{2} \sin (2 x)) - \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

Paso 25.4

Multiplica $- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2}$ .

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Paso 25.4.1

Multiplica $\frac{\sin (2 x)}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (x - \frac{1}{2} \sin (2 x)) - \frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2 \cdot 2} + C$

Paso 25.4.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{1}{2} (x - \frac{1}{2} \sin (2 x)) - \frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

Paso 25.5

Combina $\sin (2 x)$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (x - \frac{\sin (2 x)}{2}) - \frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

Paso 25.6

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2}) - \frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

Paso 25.7

Combina $\frac{1}{2}$ y $x$ .

$\frac{x}{2} + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2}) - \frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

Paso 25.8

Multiplica $\frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2})$ .

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Paso 25.8.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sin (2 x)}{2}$ .

$\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2 \cdot 2} - \frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

Paso 25.8.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4} - \frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

Paso 26

Reordena los términos.

$\frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin (2 x) - \frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

Paso 27

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin (2 x) - \frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$