Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 2} \frac{4 \ln (2 x - 3)}{2 e^{2 x - 4} - 2}$

Paso 1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 2} 4 \ln (2 x - 3)}{lim_{x \to 2} 2 e^{2 x - 4} - 2}$

Paso 1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.2.1.1

Mueve el término $4$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{4 lim_{x \to 2} \ln (2 x - 3)}{lim_{x \to 2} 2 e^{2 x - 4} - 2}$

Paso 1.2.1.2

Mueve el límite dentro del logaritmo.

$\frac{4 \ln (lim_{x \to 2} 2 x - 3)}{lim_{x \to 2} 2 e^{2 x - 4} - 2}$

Paso 1.2.1.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $2$ .

$\frac{4 \ln (lim_{x \to 2} 2 x - lim_{x \to 2} 3)}{lim_{x \to 2} 2 e^{2 x - 4} - 2}$

Paso 1.2.1.4

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{4 \ln (2 lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 3)}{lim_{x \to 2} 2 e^{2 x - 4} - 2}$

Paso 1.2.1.5

Evalúa el límite de $3$ que es constante cuando $x$ se acerca a $2$ .

$\frac{4 \ln (2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 3)}{lim_{x \to 2} 2 e^{2 x - 4} - 2}$

Paso 1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $2$ para $x$ .

$\frac{4 \ln (2 \cdot 2 - 1 \cdot 3)}{lim_{x \to 2} 2 e^{2 x - 4} - 2}$

Paso 1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.3.1.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{4 \ln (4 - 1 \cdot 3)}{lim_{x \to 2} 2 e^{2 x - 4} - 2}$

Paso 1.2.3.1.2

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{4 \ln (4 - 3)}{lim_{x \to 2} 2 e^{2 x - 4} - 2}$

Paso 1.2.3.2

Resta $3$ de $4$ .

$\frac{4 \ln (1)}{lim_{x \to 2} 2 e^{2 x - 4} - 2}$

Paso 1.2.3.3

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$\frac{4 \cdot 0}{lim_{x \to 2} 2 e^{2 x - 4} - 2}$

Paso 1.2.3.4

Multiplica $4$ por $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} 2 e^{2 x - 4} - 2}$

Paso 1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.3.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} 2 e^{2 x - 4} - lim_{x \to 2} 2}$

Paso 1.3.1.2

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{0}{2 lim_{x \to 2} e^{2 x - 4} - lim_{x \to 2} 2}$

Paso 1.3.1.3

Mueve el límite dentro del exponente.

$\frac{0}{2 e^{lim_{x \to 2} 2 x - 4} - lim_{x \to 2} 2}$

Paso 1.3.1.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $2$ .

$\frac{0}{2 e^{lim_{x \to 2} 2 x - lim_{x \to 2} 4} - lim_{x \to 2} 2}$

Paso 1.3.1.5

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{0}{2 e^{2 lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 4} - lim_{x \to 2} 2}$

Paso 1.3.1.6

Evalúa el límite de $4$ que es constante cuando $x$ se acerca a $2$ .

$\frac{0}{2 e^{2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 4} - lim_{x \to 2} 2}$

Paso 1.3.1.7

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $x$ se acerca a $2$ .

$\frac{0}{2 e^{2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 4} - 1 \cdot 2}$

Paso 1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $2$ para $x$ .

$\frac{0}{2 e^{2 \cdot 2 - 1 \cdot 4} - 1 \cdot 2}$

Paso 1.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.3.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.3.1.1.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{0}{2 e^{4 - 1 \cdot 4} - 1 \cdot 2}$

Paso 1.3.3.1.1.2

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$\frac{0}{2 e^{4 - 4} - 1 \cdot 2}$

Paso 1.3.3.1.2

Resta $4$ de $4$ .

$\frac{0}{2 e^{0} - 1 \cdot 2}$

Paso 1.3.3.1.3

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\frac{0}{2 \cdot 1 - 1 \cdot 2}$

Paso 1.3.3.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{0}{2 - 1 \cdot 2}$

Paso 1.3.3.1.5

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{0}{2 - 2}$

Paso 1.3.3.2

Resta $2$ de $2$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.3.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 2} \frac{4 \ln (2 x - 3)}{2 e^{2 x - 4} - 2} = lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [4 \ln (2 x - 3)]}{\frac{d}{d x} [2 e^{2 x - 4} - 2]}$

Paso 3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [4 \ln (2 x - 3)]}{\frac{d}{d x} [2 e^{2 x - 4} - 2]}$

Paso 3.2

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 \ln (2 x - 3)$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [\ln (2 x - 3)]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{4 \frac{d}{d x} [\ln (2 x - 3)]}{\frac{d}{d x} [2 e^{2 x - 4} - 2]}$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = 2 x - 3$ .

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Paso 3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x - 3$ .

$lim_{x \to 2} \frac{4 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [2 x - 3])}{\frac{d}{d x} [2 e^{2 x - 4} - 2]}$

Paso 3.3.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{4 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [2 x - 3])}{\frac{d}{d x} [2 e^{2 x - 4} - 2]}$

Paso 3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x - 3$ .

$lim_{x \to 2} \frac{4 (\frac{1}{2 x - 3} \frac{d}{d x} [2 x - 3])}{\frac{d}{d x} [2 e^{2 x - 4} - 2]}$

Paso 3.4

Combina $\frac{1}{2 x - 3}$ y $4$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{4}{2 x - 3} \frac{d}{d x} [2 x - 3]}{\frac{d}{d x} [2 e^{2 x - 4} - 2]}$

Paso 3.5

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x - 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{4}{2 x - 3} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{\frac{d}{d x} [2 e^{2 x - 4} - 2]}$

Paso 3.6

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{4}{2 x - 3} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{\frac{d}{d x} [2 e^{2 x - 4} - 2]}$

Paso 3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{4}{2 x - 3} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3])}{\frac{d}{d x} [2 e^{2 x - 4} - 2]}$

Paso 3.8

Multiplica $2$ por $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{4}{2 x - 3} (2 + \frac{d}{d x} [- 3])}{\frac{d}{d x} [2 e^{2 x - 4} - 2]}$

Paso 3.9

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{4}{2 x - 3} (2 + 0)}{\frac{d}{d x} [2 e^{2 x - 4} - 2]}$

Paso 3.10

Suma $2$ y $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{4}{2 x - 3} \cdot 2}{\frac{d}{d x} [2 e^{2 x - 4} - 2]}$

Paso 3.11

Combina $\frac{4}{2 x - 3}$ y $2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{4 \cdot 2}{2 x - 3}}{\frac{d}{d x} [2 e^{2 x - 4} - 2]}$

Paso 3.12

Multiplica $4$ por $2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{8}{2 x - 3}}{\frac{d}{d x} [2 e^{2 x - 4} - 2]}$

Paso 3.13

Según la regla de la suma, la derivada de $2 e^{2 x - 4} - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 e^{2 x - 4}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{8}{2 x - 3}}{\frac{d}{d x} [2 e^{2 x - 4}] + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Paso 3.14

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 e^{2 x - 4}]$ .

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Paso 3.14.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 e^{2 x - 4}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [e^{2 x - 4}]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{8}{2 x - 3}}{2 \frac{d}{d x} [e^{2 x - 4}] + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Paso 3.14.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 2 x - 4$ .

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Paso 3.14.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x - 4$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{8}{2 x - 3}}{2 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x - 4]) + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Paso 3.14.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{8}{2 x - 3}}{2 (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x - 4]) + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Paso 3.14.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x - 4$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{8}{2 x - 3}}{2 (e^{2 x - 4} \frac{d}{d x} [2 x - 4]) + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Paso 3.14.3

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x - 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{8}{2 x - 3}}{2 (e^{2 x - 4} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 4])) + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Paso 3.14.4

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{8}{2 x - 3}}{2 (e^{2 x - 4} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])) + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Paso 3.14.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{8}{2 x - 3}}{2 (e^{2 x - 4} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4])) + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Paso 3.14.6

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{8}{2 x - 3}}{2 (e^{2 x - 4} (2 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Paso 3.14.7

Multiplica $2$ por $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{8}{2 x - 3}}{2 (e^{2 x - 4} (2 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Paso 3.14.8

Suma $2$ y $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{8}{2 x - 3}}{2 (e^{2 x - 4} \cdot 2) + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Paso 3.14.9

Mueve $2$ a la izquierda de $e^{2 x - 4}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{8}{2 x - 3}}{2 (2 e^{2 x - 4}) + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Paso 3.14.10

Multiplica $2$ por $2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{8}{2 x - 3}}{4 e^{2 x - 4} + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Paso 3.15

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{8}{2 x - 3}}{4 e^{2 x - 4} + 0}$

Paso 3.16

Suma $4 e^{2 x - 4}$ y $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{8}{2 x - 3}}{4 e^{2 x - 4}}$

Paso 4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{x \to 2} \frac{8}{2 x - 3} \cdot \frac{1}{4 e^{2 x - 4}}$

Paso 5

Simplifica los términos.

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Paso 5.1

Multiplica $\frac{8}{2 x - 3}$ por $\frac{1}{4 e^{2 x - 4}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{8}{(2 x - 3) (4 e^{2 x - 4})}$

Paso 5.2

Cancela el factor común de $8$ y $4$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$lim_{x \to 2} \frac{4 \cdot 2}{(2 x - 3) (4 e^{2 x - 4})}$

Paso 5.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.2.1

Factoriza $4$ de $(2 x - 3) (4 e^{2 x - 4})$ .

$lim_{x \to 2} \frac{4 \cdot 2}{4 ((2 x - 3) (e^{2 x - 4}))}$

Paso 5.2.2.2

Cancela el factor común.

$lim_{x \to 2} \frac{4 \cdot 2}{4 ((2 x - 3) (e^{2 x - 4}))}$

Paso 5.2.2.3

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to 2} \frac{2}{(2 x - 3) (e^{2 x - 4})}$

Paso 6

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$2 lim_{x \to 2} \frac{1}{(2 x - 3) e^{2 x - 4}}$

Paso 7

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $2$ .

$2 \frac{lim_{x \to 2} 1}{lim_{x \to 2} (2 x - 3) e^{2 x - 4}}$

Paso 8

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $2$ .

$2 \frac{1}{lim_{x \to 2} (2 x - 3) e^{2 x - 4}}$

Paso 9

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $2$ .

$2 \frac{1}{lim_{x \to 2} 2 x - 3 \cdot lim_{x \to 2} e^{2 x - 4}}$

Paso 10

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $2$ .

$2 \frac{1}{(lim_{x \to 2} 2 x - lim_{x \to 2} 3) \cdot lim_{x \to 2} e^{2 x - 4}}$

Paso 11

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$2 \frac{1}{(2 lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 3) \cdot lim_{x \to 2} e^{2 x - 4}}$

Paso 12

Evalúa el límite de $3$ que es constante cuando $x$ se acerca a $2$ .

$2 \frac{1}{(2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 3) \cdot lim_{x \to 2} e^{2 x - 4}}$

Paso 13

Mueve el límite dentro del exponente.

$2 \frac{1}{(2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 3) \cdot e^{lim_{x \to 2} 2 x - 4}}$

Paso 14

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $2$ .

$2 \frac{1}{(2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 3) \cdot e^{lim_{x \to 2} 2 x - lim_{x \to 2} 4}}$

Paso 15

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$2 \frac{1}{(2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 3) \cdot e^{2 lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 4}}$

Paso 16

Evalúa el límite de $4$ que es constante cuando $x$ se acerca a $2$ .

$2 \frac{1}{(2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 3) \cdot e^{2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 4}}$

Paso 17

Evalúa los límites mediante el ingreso de $2$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 17.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $2$ para $x$ .

$2 \frac{1}{(2 \cdot 2 - 1 \cdot 3) \cdot e^{2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 4}}$

Paso 17.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $2$ para $x$ .

$2 \frac{1}{(2 \cdot 2 - 1 \cdot 3) \cdot e^{2 \cdot 2 - 1 \cdot 4}}$

Paso 18

Simplifica la respuesta.

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Paso 18.1

Simplifica el denominador.

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Paso 18.1.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$2 \frac{1}{(4 - 1 \cdot 3) e^{2 \cdot 2 - 1 \cdot 4}}$

Paso 18.1.2

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$2 \frac{1}{(4 - 3) e^{2 \cdot 2 - 1 \cdot 4}}$

Paso 18.1.3

Resta $3$ de $4$ .

$2 \frac{1}{1 e^{2 \cdot 2 - 1 \cdot 4}}$

Paso 18.1.4

Multiplica $e^{2 \cdot 2 - 1 \cdot 4}$ por $1$ .

$2 \frac{1}{e^{2 \cdot 2 - 1 \cdot 4}}$

Paso 18.1.5

Simplifica cada término.

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Paso 18.1.5.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$2 \frac{1}{e^{4 - 1 \cdot 4}}$

Paso 18.1.5.2

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$2 \frac{1}{e^{4 - 4}}$

Paso 18.1.6

Resta $4$ de $4$ .

$2 \frac{1}{e^{0}}$

Paso 18.1.7

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$2 (\frac{1}{1})$

Paso 18.2

Cancela el factor común de $1$ .

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Paso 18.2.1

Cancela el factor común.

$2 (\frac{1}{1})$

Paso 18.2.2

Reescribe la expresión.

$2 \cdot 1$

Paso 18.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$