Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{\sqrt{2 x}}{x} + \frac{3}{x^{5}}$

Paso 1

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 2

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{\sqrt{2 x}}{x} + \frac{3}{x^{5}} d x$

Paso 3

Divide la única integral en varias integrales.

$\int \frac{\sqrt{2 x}}{x} d x + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

Paso 4

Sea $u = 2 x$ . Entonces $d u = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 4.1

Deja $u = 2 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 4.1.1

Diferencia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 4.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 4.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 4.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{\sqrt{u}}{\frac{u}{2}} \cdot \frac{1}{2} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

Paso 5

Simplifica la expresión.

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Paso 5.1

Simplifica.

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Paso 5.1.1

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{u}{2}$ .

$\int \sqrt{u} \frac{2}{u} \frac{1}{2} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

Paso 5.1.2

Combina $\sqrt{u}$ y $\frac{2}{u}$ .

$\int \frac{\sqrt{u} \cdot 2}{u} \cdot \frac{1}{2} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

Paso 5.1.3

Mueve $2$ a la izquierda de $\sqrt{u}$ .

$\int \frac{2 \cdot \sqrt{u}}{u} \cdot \frac{1}{2} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

Paso 5.1.4

Multiplica $\frac{2 \sqrt{u}}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{2 \sqrt{u}}{u \cdot 2} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

Paso 5.1.5

Mueve $2$ a la izquierda de $u$ .

$\int \frac{2 \sqrt{u}}{2 \cdot u} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

Paso 5.1.6

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.1.6.1

Cancela el factor común.

$\int \frac{2 \sqrt{u}}{2 u} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

Paso 5.1.6.2

Reescribe la expresión.

$\int \frac{\sqrt{u}}{u} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

Paso 5.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{u^{\frac{1}{2}}}{u} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

Paso 5.3

Simplifica.

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Paso 5.3.1

Mueve $u^{\frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot u^{- \frac{1}{2}}} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

Paso 5.3.2

Multiplica $u$ por $u^{- \frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.3.2.1

Multiplica $u$ por $u^{- \frac{1}{2}}$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$\int \frac{1}{u^{1} u^{- \frac{1}{2}}} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

Paso 5.3.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int \frac{1}{u^{1 - \frac{1}{2}}} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

Paso 5.3.2.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\int \frac{1}{u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

Paso 5.3.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\int \frac{1}{u^{\frac{2 - 1}{2}}} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

Paso 5.3.2.4

Resta $1$ de $2$ .

$\int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

Paso 5.4

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 5.4.1

Mueve $u^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

Paso 5.4.2

Multiplica los exponentes en ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 5.4.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

Paso 5.4.2.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$\int u^{\frac{- 1}{2}} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

Paso 5.4.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int u^{- \frac{1}{2}} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- \frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$2 u^{\frac{1}{2}} + C + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

Paso 7

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$2 u^{\frac{1}{2}} + C + 3 \int \frac{1}{x^{5}} d x$

Paso 8

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 8.1

Mueve $x^{5}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$2 u^{\frac{1}{2}} + C + 3 \int {(x^{5})}^{- 1} d x$

Paso 8.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{5})}^{- 1}$ .

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Paso 8.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 u^{\frac{1}{2}} + C + 3 \int x^{5 \cdot - 1} d x$

Paso 8.2.2

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$2 u^{\frac{1}{2}} + C + 3 \int x^{- 5} d x$

Paso 9

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- 5}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{4} x^{- 4}$ .

$2 u^{\frac{1}{2}} + C + 3 (- \frac{1}{4} x^{- 4} + C)$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Simplifica.

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Paso 10.1.1

Combina $x^{- 4}$ y $\frac{1}{4}$ .

$2 u^{\frac{1}{2}} + C + 3 (- \frac{x^{- 4}}{4} + C)$

Paso 10.1.2

Mueve $x^{- 4}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 u^{\frac{1}{2}} + C + 3 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C)$

Paso 10.2

Simplifica.

$2 u^{\frac{1}{2}} + \frac{- 3}{4 x^{4}} + C$

Paso 10.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$2 u^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{4 x^{4}} + C$

Paso 11

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$2 {(2 x)}^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{4 x^{4}} + C$

Paso 12

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = \frac{\sqrt{2 x}}{x} + \frac{3}{x^{5}}$ .

$F (x) =$ $2 {(2 x)}^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{4 x^{4}} + C$