Cálculo Ejemplos

$\int_{θ_{1}}^{θ_{2}} \frac{1}{θ_{2} - θ_{1}} x d x$

Paso 1

Combina $\frac{1}{θ_{2} - θ_{1}}$ y $x$ .

$\int_{θ_{1}}^{θ_{2}} \frac{x}{θ_{2} - θ_{1}} d x$

Paso 2

Dado que $\frac{1}{θ_{2} - θ_{1}}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{θ_{2} - θ_{1}}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{θ_{2} - θ_{1}} \int_{θ_{1}}^{θ_{2}} x d x$

Paso 3

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{θ_{2} - θ_{1}} \frac{1}{2} x^{2}]_{θ_{1}}^{θ_{2}}$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Simplifica.

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Paso 4.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$\frac{1}{θ_{2} - θ_{1}} \frac{x^{2}}{2}]_{θ_{1}}^{θ_{2}}$

Paso 4.1.2

Combina $\frac{1}{θ_{2} - θ_{1}}$ y $\frac{x^{2}}{2}]_{θ_{1}}^{θ_{2}}$ .

$\frac{\frac{x^{2}}{2}]_{θ_{1}}^{θ_{2}}}{θ_{2} - θ_{1}}$

Paso 4.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 4.2.1

Evalúa $\frac{x^{2}}{2}$ en $θ_{2}$ y en $θ_{1}$ .

$\frac{(\frac{{θ_{2}}^{2}}{2}) - \frac{{θ_{1}}^{2}}{2}}{θ_{2} - θ_{1}}$

Paso 4.2.2

Simplifica.

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Paso 4.2.2.1

Multiplica $\frac{\frac{{θ_{2}}^{2}}{2} - \frac{{θ_{1}}^{2}}{2}}{θ_{2} - θ_{1}}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{2} \cdot \frac{\frac{{θ_{2}}^{2}}{2} - \frac{{θ_{1}}^{2}}{2}}{θ_{2} - θ_{1}}$

Paso 4.2.2.2

Combinar.

$\frac{2 (\frac{{θ_{2}}^{2}}{2} - \frac{{θ_{1}}^{2}}{2})}{2 (θ_{2} - θ_{1})}$

Paso 4.2.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 \frac{{θ_{2}}^{2}}{2} + 2 (- \frac{{θ_{1}}^{2}}{2})}{2 (θ_{2} - θ_{1})}$

Paso 4.2.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.2.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 \frac{{θ_{2}}^{2}}{2} + 2 (- \frac{{θ_{1}}^{2}}{2})}{2 (θ_{2} - θ_{1})}$

Paso 4.2.2.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{{θ_{2}}^{2} + 2 (- \frac{{θ_{1}}^{2}}{2})}{2 (θ_{2} - θ_{1})}$

Paso 4.2.2.5

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{{θ_{2}}^{2} - 2 \frac{{θ_{1}}^{2}}{2}}{2 (θ_{2} - θ_{1})}$

Paso 4.2.2.6

Combina $- 2$ y $\frac{{θ_{1}}^{2}}{2}$ .

$\frac{{θ_{2}}^{2} + \frac{- 2 {θ_{1}}^{2}}{2}}{2 (θ_{2} - θ_{1})}$

Paso 4.2.2.7

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 4.2.2.7.1

Factoriza $2$ de $- 2 {θ_{1}}^{2}$ .

$\frac{{θ_{2}}^{2} + \frac{2 (- {θ_{1}}^{2})}{2}}{2 (θ_{2} - θ_{1})}$

Paso 4.2.2.7.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.2.2.7.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{{θ_{2}}^{2} + \frac{2 (- {θ_{1}}^{2})}{2 (1)}}{2 (θ_{2} - θ_{1})}$

Paso 4.2.2.7.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{{θ_{2}}^{2} + \frac{2 (- {θ_{1}}^{2})}{2 \cdot 1}}{2 (θ_{2} - θ_{1})}$

Paso 4.2.2.7.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{{θ_{2}}^{2} + \frac{- {θ_{1}}^{2}}{1}}{2 (θ_{2} - θ_{1})}$

Paso 4.2.2.7.2.4

Divide $- {θ_{1}}^{2}$ por $1$ .

$\frac{{θ_{2}}^{2} - {θ_{1}}^{2}}{2 (θ_{2} - θ_{1})}$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = θ_{2}$ y $b = θ_{1}$ .

$\frac{(θ_{2} + θ_{1}) (θ_{2} - θ_{1})}{2 (θ_{2} - θ_{1})}$

Paso 5.2

Cancela el factor común de $θ_{2} - θ_{1}$ .

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Paso 5.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{(θ_{2} + θ_{1}) (θ_{2} - θ_{1})}{2 (θ_{2} - θ_{1})}$

Paso 5.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{θ_{2} + θ_{1}}{2}$