Cálculo Ejemplos

$\frac{1}{2 y^{2}} + \frac{y^{4}}{16}$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{1}{2 y^{2}} + \frac{y^{4}}{16}$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2 y^{2}}] + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2 y^{2}}] + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2 y^{2}}]$ .

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Paso 2.1

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $\frac{1}{2 y^{2}}$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}] + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$

Paso 2.2

Reescribe $\frac{1}{y^{2}}$ como ${(y^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d y} [{(y^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ es $f' (g (y)) g' (y)$ donde $f (y) = y^{- 1}$ y $g (y) = y^{2}$ .

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Paso 2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y^{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$\frac{1}{2} (- u^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$

Paso 2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y^{2}$ .

$\frac{1}{2} (- {(y^{2})}^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{2} (- {(y^{2})}^{- 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$

Paso 2.5

Multiplica los exponentes en ${(y^{2})}^{- 2}$ .

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Paso 2.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (- y^{2 \cdot - 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$

Paso 2.5.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$\frac{1}{2} (- y^{- 4} (2 y)) + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$

Paso 2.6

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} (- 2 y^{- 4} y) + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$

Paso 2.7

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{2} (- 2 (y^{1} y^{- 4})) + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$

Paso 2.8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{2} (- 2 y^{1 - 4}) + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$

Paso 2.9

Resta $4$ de $1$ .

$\frac{1}{2} (- 2 y^{- 3}) + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$

Paso 2.10

Combina $- 2$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 2}{2} y^{- 3} + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$

Paso 2.11

Combina $\frac{- 2}{2}$ y $y^{- 3}$ .

$\frac{- 2 y^{- 3}}{2} + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$

Paso 2.12

Mueve $y^{- 3}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 2}{2 y^{3}} + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$

Paso 2.13

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 2.13.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2 y^{3}} + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$

Paso 2.13.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.13.2.1

Factoriza $2$ de $2 y^{3}$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2 (y^{3})} + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$

Paso 2.13.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 y^{3}} + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$

Paso 2.13.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1}{y^{3}} + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$

Paso 2.14

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{y^{3}} + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$ .

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Paso 3.1

Como $\frac{1}{16}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $\frac{y^{4}}{16}$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{16} \frac{d}{d y} [y^{4}]$ .

$- \frac{1}{y^{3}} + \frac{1}{16} \frac{d}{d y} [y^{4}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$- \frac{1}{y^{3}} + \frac{1}{16} (4 y^{3})$

Paso 3.3

Combina $4$ y $\frac{1}{16}$ .

$- \frac{1}{y^{3}} + \frac{4}{16} y^{3}$

Paso 3.4

Combina $\frac{4}{16}$ y $y^{3}$ .

$- \frac{1}{y^{3}} + \frac{4 y^{3}}{16}$

Paso 3.5

Cancela el factor común de $4$ y $16$ .

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Paso 3.5.1

Factoriza $4$ de $4 y^{3}$ .

$- \frac{1}{y^{3}} + \frac{4 (y^{3})}{16}$

Paso 3.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.5.2.1

Factoriza $4$ de $16$ .

$- \frac{1}{y^{3}} + \frac{4 y^{3}}{4 \cdot 4}$

Paso 3.5.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{1}{y^{3}} + \frac{4 y^{3}}{4 \cdot 4}$

Paso 3.5.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{1}{y^{3}} + \frac{y^{3}}{4}$

Paso 4

Reordena los términos.

$\frac{y^{3}}{4} - \frac{1}{y^{3}}$