Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x^{2} + 3}}{2 x - 8}$

Paso 1

Divide el numerador y denominador por la potencia más alta de $x$ en el denominador, que es $- \sqrt{x^{2}} = x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}}}{\frac{2 x}{x} + \frac{- 8}{x}}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Simplifica cada término.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}}}{2 - \frac{8}{x}}$

Paso 2.2

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 2.2.1

Cancela el factor común.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}}}{2 - \frac{8}{x}}$

Paso 2.2.2

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{1 + \frac{3}{x^{2}}}}{2 - \frac{8}{x}}$

Paso 2.3

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{1 + \frac{3}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{8}{x}}$

Paso 2.4

Mueve el término $- 1$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{1 + \frac{3}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{8}{x}}$

Paso 2.5

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 1 + \frac{3}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{8}{x}}$

Paso 2.6

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 1 + lim_{x \to - \infty} \frac{3}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{8}{x}}$

Paso 2.7

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{1 + lim_{x \to - \infty} \frac{3}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{8}{x}}$

Paso 2.8

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{- \sqrt{1 + 3 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{8}{x}}$

Paso 3

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x^{2}}$ se acerca a $0$ .

$\frac{- \sqrt{1 + 3 \cdot 0}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{8}{x}}$

Paso 4

Evalúa el límite.

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Paso 4.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{1 + 3 \cdot 0}}{lim_{x \to - \infty} 2 - lim_{x \to - \infty} \frac{8}{x}}$

Paso 4.2

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{1 + 3 \cdot 0}}{2 - lim_{x \to - \infty} \frac{8}{x}}$

Paso 4.3

Mueve el término $8$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{- \sqrt{1 + 3 \cdot 0}}{2 - 8 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}$

Paso 5

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca a $0$ .

$\frac{- \sqrt{1 + 3 \cdot 0}}{2 - 8 \cdot 0}$

Paso 6

Simplifica la respuesta.

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Paso 6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1.1

Multiplica $3$ por $0$ .

$\frac{- \sqrt{1 + 0}}{2 - 8 \cdot 0}$

Paso 6.1.2

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{- \sqrt{1}}{2 - 8 \cdot 0}$

Paso 6.1.3

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$\frac{- 1 \cdot 1}{2 - 8 \cdot 0}$

Paso 6.2

Simplifica el denominador.

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Paso 6.2.1

Multiplica $- 8$ por $0$ .

$\frac{- 1 \cdot 1}{2 + 0}$

Paso 6.2.2

Suma $2$ y $0$ .

$\frac{- 1 \cdot 1}{2}$

Paso 6.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{- 1}{2}$

Paso 6.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{2}$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \frac{1}{2}$

Forma decimal:

$- 0.5$