Cálculo Ejemplos

$\frac{1}{x (x + 1)}$

Paso 1

Reescribe $\frac{1}{x (x + 1)}$ como ${(x (x + 1))}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x (x + 1))}^{- 1}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x (x + 1)$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x (x + 1)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x (x + 1)]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x (x + 1)]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x (x + 1)$ .

$- {(x (x + 1))}^{- 2} \frac{d}{d x} [x (x + 1)]$

Paso 3

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = x + 1$ .

$- {(x (x + 1))}^{- 2} (x \frac{d}{d x} [x + 1] + (x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4

Diferencia.

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Paso 4.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- {(x (x + 1))}^{- 2} (x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- {(x (x + 1))}^{- 2} (x (1 + \frac{d}{d x} [1]) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- {(x (x + 1))}^{- 2} (x (1 + 0) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.4

Simplifica la expresión.

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Paso 4.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$- {(x (x + 1))}^{- 2} (x \cdot 1 + (x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.4.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$- {(x (x + 1))}^{- 2} (x + (x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- {(x (x + 1))}^{- 2} (x + (x + 1) \cdot 1)$

Paso 4.6

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 4.6.1

Multiplica $x + 1$ por $1$ .

$- {(x (x + 1))}^{- 2} (x + x + 1)$

Paso 4.6.2

Suma $x$ y $x$ .

$- {(x (x + 1))}^{- 2} (2 x + 1)$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{{(x (x + 1))}^{2}} (2 x + 1)$

Paso 5.2

Aplica la regla del producto a $x (x + 1)$ .

$- \frac{1}{x^{2} {(x + 1)}^{2}} (2 x + 1)$

Paso 5.3

Reordena los factores de $- \frac{1}{x^{2} {(x + 1)}^{2}} (2 x + 1)$ .

$- (2 x + 1) \frac{1}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$

Paso 5.4

Aplica la propiedad distributiva.

$(- (2 x) - 1 \cdot 1) \frac{1}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$

Paso 5.5

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$(- 2 x - 1 \cdot 1) \frac{1}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$

Paso 5.6

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$(- 2 x - 1) \frac{1}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$

Paso 5.7

Multiplica $- 2 x - 1$ por $\frac{1}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$ .

$\frac{- 2 x - 1}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$

Paso 5.8

Factoriza $- 1$ de $- 2 x$ .

$\frac{- (2 x) - 1}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$

Paso 5.9

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{- (2 x) - 1 (1)}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$

Paso 5.10

Factoriza $- 1$ de $- (2 x) - 1 (1)$ .

$\frac{- (2 x + 1)}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$

Paso 5.11

Reescribe $- (2 x + 1)$ como $- 1 (2 x + 1)$ .

$\frac{- 1 (2 x + 1)}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$

Paso 5.12

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2 x + 1}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$