Cálculo Ejemplos

$lim_{θ \to 0} \frac{1 - \cos (θ)}{\sin (2 θ)}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{θ \to 0} 1 - \cos (θ)}{lim_{θ \to 0} \sin (2 θ)}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.2.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $θ$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{θ \to 0} 1 - lim_{θ \to 0} \cos (θ)}{lim_{θ \to 0} \sin (2 θ)}$

Paso 1.1.2.1.2

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $θ$ se acerca a $0$ .

$\frac{1 - lim_{θ \to 0} \cos (θ)}{lim_{θ \to 0} \sin (2 θ)}$

Paso 1.1.2.1.3

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\frac{1 - \cos (lim_{θ \to 0} θ)}{lim_{θ \to 0} \sin (2 θ)}$

Paso 1.1.2.2

Evalúa el límite de $θ$ mediante el ingreso de $0$ para $θ$ .

$\frac{1 - \cos (0)}{lim_{θ \to 0} \sin (2 θ)}$

Paso 1.1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.3.1.1

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{θ \to 0} \sin (2 θ)}$

Paso 1.1.2.3.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{θ \to 0} \sin (2 θ)}$

Paso 1.1.2.3.2

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{θ \to 0} \sin (2 θ)}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.3.1.1

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\frac{0}{\sin (lim_{θ \to 0} 2 θ)}$

Paso 1.1.3.1.2

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $θ$ .

$\frac{0}{\sin (2 lim_{θ \to 0} θ)}$

Paso 1.1.3.2

Evalúa el límite de $θ$ mediante el ingreso de $0$ para $θ$ .

$\frac{0}{\sin (2 \cdot 0)}$

Paso 1.1.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.3.3.1

Multiplica $2$ por $0$ .

$\frac{0}{\sin (0)}$

Paso 1.1.3.3.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{θ \to 0} \frac{1 - \cos (θ)}{\sin (2 θ)} = lim_{θ \to 0} \frac{\frac{d}{d θ} [1 - \cos (θ)]}{\frac{d}{d θ} [\sin (2 θ)]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{θ \to 0} \frac{\frac{d}{d θ} [1 - \cos (θ)]}{\frac{d}{d θ} [\sin (2 θ)]}$

Paso 1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - \cos (θ)$ con respecto a $θ$ es $\frac{d}{d θ} [1] + \frac{d}{d θ} [- \cos (θ)]$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{\frac{d}{d θ} [1] + \frac{d}{d θ} [- \cos (θ)]}{\frac{d}{d θ} [\sin (2 θ)]}$

Paso 1.3.3

Como $1$ es constante con respecto a $θ$ , la derivada de $1$ con respecto a $θ$ es $0$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d θ} [- \cos (θ)]}{\frac{d}{d θ} [\sin (2 θ)]}$

Paso 1.3.4

Evalúa $\frac{d}{d θ} [- \cos (θ)]$ .

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Paso 1.3.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $θ$ , la derivada de $- \cos (θ)$ con respecto a $θ$ es $- \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]}{\frac{d}{d θ} [\sin (2 θ)]}$

Paso 1.3.4.2

La derivada de $\cos (θ)$ con respecto a $θ$ es $- \sin (θ)$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{0 - - \sin (θ)}{\frac{d}{d θ} [\sin (2 θ)]}$

Paso 1.3.4.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{0 + 1 \sin (θ)}{\frac{d}{d θ} [\sin (2 θ)]}$

Paso 1.3.4.4

Multiplica $\sin (θ)$ por $1$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{0 + \sin (θ)}{\frac{d}{d θ} [\sin (2 θ)]}$

Paso 1.3.5

Suma $0$ y $\sin (θ)$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{\sin (θ)}{\frac{d}{d θ} [\sin (2 θ)]}$

Paso 1.3.6

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ es $f' (g (θ)) g' (θ)$ donde $f (θ) = \sin (θ)$ y $g (θ) = 2 θ$ .

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Paso 1.3.6.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 θ$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{\sin (θ)}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d θ} [2 θ]}$

Paso 1.3.6.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{\sin (θ)}{\cos (u) \frac{d}{d θ} [2 θ]}$

Paso 1.3.6.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 θ$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{\sin (θ)}{\cos (2 θ) \frac{d}{d θ} [2 θ]}$

Paso 1.3.7

Como $2$ es constante con respecto a $θ$ , la derivada de $2 θ$ con respecto a $θ$ es $2 \frac{d}{d θ} [θ]$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{\sin (θ)}{\cos (2 θ) (2 \frac{d}{d θ} [θ])}$

Paso 1.3.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ es $n θ^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{\sin (θ)}{\cos (2 θ) (2 \cdot 1)}$

Paso 1.3.9

Multiplica $2$ por $1$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{\sin (θ)}{\cos (2 θ) \cdot 2}$

Paso 1.3.10

Mueve $2$ a la izquierda de $\cos (2 θ)$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{\sin (θ)}{2 \cos (2 θ)}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Mueve el término $\frac{1}{2}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $θ$ .

$\frac{1}{2} lim_{θ \to 0} \frac{\sin (θ)}{\cos (2 θ)}$

Paso 2.2

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $θ$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}{lim_{θ \to 0} \cos (2 θ)}$

Paso 2.3

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (lim_{θ \to 0} θ)}{lim_{θ \to 0} \cos (2 θ)}$

Paso 2.4

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (lim_{θ \to 0} θ)}{\cos (lim_{θ \to 0} 2 θ)}$

Paso 2.5

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $θ$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (lim_{θ \to 0} θ)}{\cos (2 lim_{θ \to 0} θ)}$

Paso 3

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $θ$ .

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Paso 3.1

Evalúa el límite de $θ$ mediante el ingreso de $0$ para $θ$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (0)}{\cos (2 lim_{θ \to 0} θ)}$

Paso 3.2

Evalúa el límite de $θ$ mediante el ingreso de $0$ para $θ$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (0)}{\cos (2 \cdot 0)}$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\cos (2 \cdot 0)}$

Paso 4.2

Simplifica el denominador.

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Paso 4.2.1

Multiplica $2$ por $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\cos (0)}$

Paso 4.2.2

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{1}$

Paso 4.3

Divide $0$ por $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 0$

Paso 4.4

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $0$ .

$0$