Cálculo Ejemplos

$lim_{v \to - 3} \frac{\sqrt{4 - v} - \sqrt{7}}{v + 3}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{v \to - 3} \sqrt{4 - v} - \sqrt{7}}{lim_{v \to - 3} v + 3}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.1.2.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $v$ se aproxima a $- 3$ .

$\frac{lim_{v \to - 3} \sqrt{4 - v} - lim_{v \to - 3} \sqrt{7}}{lim_{v \to - 3} v + 3}$

Paso 1.1.2.2

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{\sqrt{lim_{v \to - 3} 4 - v} - lim_{v \to - 3} \sqrt{7}}{lim_{v \to - 3} v + 3}$

Paso 1.1.2.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $v$ se aproxima a $- 3$ .

$\frac{\sqrt{lim_{v \to - 3} 4 - lim_{v \to - 3} v} - lim_{v \to - 3} \sqrt{7}}{lim_{v \to - 3} v + 3}$

Paso 1.1.2.4

Evalúa el límite de $4$ que es constante cuando $v$ se acerca a $- 3$ .

$\frac{\sqrt{4 - lim_{v \to - 3} v} - lim_{v \to - 3} \sqrt{7}}{lim_{v \to - 3} v + 3}$

Paso 1.1.2.5

Evalúa el límite de $\sqrt{7}$ que es constante cuando $v$ se acerca a $- 3$ .

$\frac{\sqrt{4 - lim_{v \to - 3} v} - \sqrt{7}}{lim_{v \to - 3} v + 3}$

Paso 1.1.2.6

Simplifica los términos.

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Paso 1.1.2.6.1

Evalúa el límite de $v$ mediante el ingreso de $- 3$ para $v$ .

$\frac{\sqrt{4 + 3} - \sqrt{7}}{lim_{v \to - 3} v + 3}$

Paso 1.1.2.6.2

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.2.6.2.1

Suma $4$ y $3$ .

$\frac{\sqrt{7} - \sqrt{7}}{lim_{v \to - 3} v + 3}$

Paso 1.1.2.6.2.2

Resta $\sqrt{7}$ de $\sqrt{7}$ .

$\frac{0}{lim_{v \to - 3} v + 3}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.3.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $v$ se aproxima a $- 3$ .

$\frac{0}{lim_{v \to - 3} v + lim_{v \to - 3} 3}$

Paso 1.1.3.1.2

Evalúa el límite de $3$ que es constante cuando $v$ se acerca a $- 3$ .

$\frac{0}{lim_{v \to - 3} v + 3}$

Paso 1.1.3.2

Evalúa el límite de $v$ mediante el ingreso de $- 3$ para $v$ .

$\frac{0}{- 3 + 3}$

Paso 1.1.3.3

Suma $- 3$ y $3$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{v \to - 3} \frac{\sqrt{4 - v} - \sqrt{7}}{v + 3} = lim_{v \to - 3} \frac{\frac{d}{d v} [\sqrt{4 - v} - \sqrt{7}]}{\frac{d}{d v} [v + 3]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{v \to - 3} \frac{\frac{d}{d v} [\sqrt{4 - v} - \sqrt{7}]}{\frac{d}{d v} [v + 3]}$

Paso 1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $\sqrt{4 - v} - \sqrt{7}$ con respecto a $v$ es $\frac{d}{d v} [\sqrt{4 - v}] + \frac{d}{d v} [- \sqrt{7}]$ .

$lim_{v \to - 3} \frac{\frac{d}{d v} [\sqrt{4 - v}] + \frac{d}{d v} [- \sqrt{7}]}{\frac{d}{d v} [v + 3]}$

Paso 1.3.3

Evalúa $\frac{d}{d v} [\sqrt{4 - v}]$ .

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Paso 1.3.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{4 - v}$ como ${(4 - v)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{v \to - 3} \frac{\frac{d}{d v} [{(4 - v)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d v} [- \sqrt{7}]}{\frac{d}{d v} [v + 3]}$

Paso 1.3.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d v} [f (g (v))]$ es $f' (g (v)) g' (v)$ donde $f (v) = v^{\frac{1}{2}}$ y $g (v) = 4 - v$ .

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Paso 1.3.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $4 - v$ .

$lim_{v \to - 3} \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d v} [4 - v] + \frac{d}{d v} [- \sqrt{7}]}{\frac{d}{d v} [v + 3]}$

Paso 1.3.3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{v \to - 3} \frac{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d v} [4 - v] + \frac{d}{d v} [- \sqrt{7}]}{\frac{d}{d v} [v + 3]}$

Paso 1.3.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $4 - v$ .

$lim_{v \to - 3} \frac{\frac{1}{2} {(4 - v)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d v} [4 - v] + \frac{d}{d v} [- \sqrt{7}]}{\frac{d}{d v} [v + 3]}$

Paso 1.3.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $4 - v$ con respecto a $v$ es $\frac{d}{d v} [4] + \frac{d}{d v} [- v]$ .

$lim_{v \to - 3} \frac{\frac{1}{2} {(4 - v)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d v} [4] + \frac{d}{d v} [- v]) + \frac{d}{d v} [- \sqrt{7}]}{\frac{d}{d v} [v + 3]}$

Paso 1.3.3.4

Como $4$ es constante con respecto a $v$ , la derivada de $4$ con respecto a $v$ es $0$ .

$lim_{v \to - 3} \frac{\frac{1}{2} {(4 - v)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d v} [- v]) + \frac{d}{d v} [- \sqrt{7}]}{\frac{d}{d v} [v + 3]}$

Paso 1.3.3.5

Como $- 1$ es constante con respecto a $v$ , la derivada de $- v$ con respecto a $v$ es $- \frac{d}{d v} [v]$ .

$lim_{v \to - 3} \frac{\frac{1}{2} {(4 - v)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - \frac{d}{d v} [v]) + \frac{d}{d v} [- \sqrt{7}]}{\frac{d}{d v} [v + 3]}$

Paso 1.3.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ es $n v^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{v \to - 3} \frac{\frac{1}{2} {(4 - v)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d v} [- \sqrt{7}]}{\frac{d}{d v} [v + 3]}$

Paso 1.3.3.7

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{v \to - 3} \frac{\frac{1}{2} {(4 - v)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d v} [- \sqrt{7}]}{\frac{d}{d v} [v + 3]}$

Paso 1.3.3.8

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$lim_{v \to - 3} \frac{\frac{1}{2} {(4 - v)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d v} [- \sqrt{7}]}{\frac{d}{d v} [v + 3]}$

Paso 1.3.3.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{v \to - 3} \frac{\frac{1}{2} {(4 - v)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d v} [- \sqrt{7}]}{\frac{d}{d v} [v + 3]}$

Paso 1.3.3.10

Simplifica el numerador.

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Paso 1.3.3.10.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$lim_{v \to - 3} \frac{\frac{1}{2} {(4 - v)}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d v} [- \sqrt{7}]}{\frac{d}{d v} [v + 3]}$

Paso 1.3.3.10.2

Resta $2$ de $1$ .

$lim_{v \to - 3} \frac{\frac{1}{2} {(4 - v)}^{\frac{- 1}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d v} [- \sqrt{7}]}{\frac{d}{d v} [v + 3]}$

Paso 1.3.3.11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{v \to - 3} \frac{\frac{1}{2} {(4 - v)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d v} [- \sqrt{7}]}{\frac{d}{d v} [v + 3]}$

Paso 1.3.3.12

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$lim_{v \to - 3} \frac{\frac{1}{2} {(4 - v)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1) + \frac{d}{d v} [- \sqrt{7}]}{\frac{d}{d v} [v + 3]}$

Paso 1.3.3.13

Resta $1$ de $0$ .

$lim_{v \to - 3} \frac{\frac{1}{2} {(4 - v)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1 + \frac{d}{d v} [- \sqrt{7}]}{\frac{d}{d v} [v + 3]}$

Paso 1.3.3.14

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(4 - v)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{v \to - 3} \frac{\frac{{(4 - v)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot - 1 + \frac{d}{d v} [- \sqrt{7}]}{\frac{d}{d v} [v + 3]}$

Paso 1.3.3.15

Combina $\frac{{(4 - v)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ y $- 1$ .

$lim_{v \to - 3} \frac{\frac{{(4 - v)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1}{2} + \frac{d}{d v} [- \sqrt{7}]}{\frac{d}{d v} [v + 3]}$

Paso 1.3.3.16

Mueve $- 1$ a la izquierda de ${(4 - v)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{v \to - 3} \frac{\frac{- 1 \cdot {(4 - v)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d v} [- \sqrt{7}]}{\frac{d}{d v} [v + 3]}$

Paso 1.3.3.17

Reescribe $- 1 {(4 - v)}^{- \frac{1}{2}}$ como $- {(4 - v)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{v \to - 3} \frac{\frac{- {(4 - v)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d v} [- \sqrt{7}]}{\frac{d}{d v} [v + 3]}$

Paso 1.3.3.18

Mueve ${(4 - v)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{v \to - 3} \frac{\frac{- 1}{2 {(4 - v)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d v} [- \sqrt{7}]}{\frac{d}{d v} [v + 3]}$

Paso 1.3.3.19

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{v \to - 3} \frac{- \frac{1}{2 {(4 - v)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d v} [- \sqrt{7}]}{\frac{d}{d v} [v + 3]}$

Paso 1.3.4

Como $- \sqrt{7}$ es constante con respecto a $v$ , la derivada de $- \sqrt{7}$ con respecto a $v$ es $0$ .

$lim_{v \to - 3} \frac{- \frac{1}{2 {(4 - v)}^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d v} [v + 3]}$

Paso 1.3.5

Suma $- \frac{1}{2 {(4 - v)}^{\frac{1}{2}}}$ y $0$ .

$lim_{v \to - 3} \frac{- \frac{1}{2 {(4 - v)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d v} [v + 3]}$

Paso 1.3.6

Según la regla de la suma, la derivada de $v + 3$ con respecto a $v$ es $\frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [3]$ .

$lim_{v \to - 3} \frac{- \frac{1}{2 {(4 - v)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [3]}$

Paso 1.3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ es $n v^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{v \to - 3} \frac{- \frac{1}{2 {(4 - v)}^{\frac{1}{2}}}}{1 + \frac{d}{d v} [3]}$

Paso 1.3.8

Como $3$ es constante con respecto a $v$ , la derivada de $3$ con respecto a $v$ es $0$ .

$lim_{v \to - 3} \frac{- \frac{1}{2 {(4 - v)}^{\frac{1}{2}}}}{1 + 0}$

Paso 1.3.9

Suma $1$ y $0$ .

$lim_{v \to - 3} \frac{- \frac{1}{2 {(4 - v)}^{\frac{1}{2}}}}{1}$

Paso 1.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{v \to - 3} - \frac{1}{2 {(4 - v)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Paso 1.5

Reescribe ${(4 - v)}^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{4 - v}$ .

$lim_{v \to - 3} - \frac{1}{2 \sqrt{4 - v}} \cdot 1$

Paso 1.6

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$lim_{v \to - 3} - \frac{1}{2 \sqrt{4 - v}}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Mueve el término $- 1$ fuera del límite porque es constante con respecto a $v$ .

$- lim_{v \to - 3} \frac{1}{2 \sqrt{4 - v}}$

Paso 2.2

Mueve el término $\frac{1}{2}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $v$ .

$- \frac{1}{2} lim_{v \to - 3} \frac{1}{\sqrt{4 - v}}$

Paso 2.3

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $v$ se aproxima a $- 3$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{v \to - 3} 1}{lim_{v \to - 3} \sqrt{4 - v}}$

Paso 2.4

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $v$ se acerca a $- 3$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{v \to - 3} \sqrt{4 - v}}$

Paso 2.5

Mueve el límite debajo del signo radical.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{v \to - 3} 4 - v}}$

Paso 2.6

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $v$ se aproxima a $- 3$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{v \to - 3} 4 - lim_{v \to - 3} v}}$

Paso 2.7

Evalúa el límite de $4$ que es constante cuando $v$ se acerca a $- 3$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{4 - lim_{v \to - 3} v}}$

Paso 2.8

Simplifica los términos.

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Paso 2.8.1

Evalúa el límite de $v$ mediante el ingreso de $- 3$ para $v$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{4 + 3}}$

Paso 2.8.2

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.8.2.1

Suma $4$ y $3$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{7}}$

Paso 2.8.2.2

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{7}}$ por $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{1}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}})$

Paso 2.8.2.3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 2.8.2.3.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{7}}$ por $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}}$

Paso 2.8.2.3.2

Eleva $\sqrt{7}$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} \sqrt{7}}$

Paso 2.8.2.3.3

Eleva $\sqrt{7}$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} {\sqrt{7}}^{1}}$

Paso 2.8.2.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1 + 1}}$

Paso 2.8.2.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{2}}$

Paso 2.8.2.3.6

Reescribe ${\sqrt{7}}^{2}$ como $7$ .

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Paso 2.8.2.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{7}$ como $7^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{7}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 2.8.2.3.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{7}}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 2.8.2.3.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

Paso 2.8.2.3.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.8.2.3.6.4.1

Cancela el factor común.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

Paso 2.8.2.3.6.4.2

Reescribe la expresión.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{7}}{7^{1}}$

Paso 2.8.2.3.6.5

Evalúa el exponente.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{7}}{7}$

Paso 2.8.2.4

Multiplica $- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{7}}{7}$ .

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Paso 2.8.2.4.1

Multiplica $\frac{\sqrt{7}}{7}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{7}}{7 \cdot 2}$

Paso 2.8.2.4.2

Multiplica $7$ por $2$ .

$- \frac{\sqrt{7}}{14}$

Paso 3

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \frac{\sqrt{7}}{14}$

Forma decimal:

$- 0.18898223 \dots$