Cálculo Ejemplos

$\int \frac{4 (x^{3} + 3)}{{(x^{4} + 12 x)}^{3}} d x$

Paso 1

Dado que $4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$4 \int \frac{x^{3} + 3}{{(x^{4} + 12 x)}^{3}} d x$

Paso 2

Sea $u = x^{4} + 12 x$ . Entonces $d u = (4 x^{3} + 12) d x$ , de modo que $\frac{1}{4} d u = (x^{3} + 3) d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.1

Deja $u = x^{4} + 12 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $x^{4} + 12 x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} + 12 x]$

Paso 2.1.2

Diferencia.

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Paso 2.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{4} + 12 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [12 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [12 x]$

Paso 2.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [12 x]$

Paso 2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

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Paso 2.1.3.1

Como $12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $12 x$ con respecto a $x$ es $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x^{3} + 12 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 x^{3} + 12 \cdot 1$

Paso 2.1.3.3

Multiplica $12$ por $1$ .

$4 x^{3} + 12$

Paso 2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$4 \int \frac{1}{u^{3}} \cdot \frac{1}{4} d u$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Multiplica $\frac{1}{u^{3}}$ por $\frac{1}{4}$ .

$4 \int \frac{1}{u^{3} \cdot 4} d u$

Paso 3.2

Mueve $4$ a la izquierda de $u^{3}$ .

$4 \int \frac{1}{4 u^{3}} d u$

Paso 4

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$4 (\frac{1}{4} \int \frac{1}{u^{3}} d u)$

Paso 5

Simplifica la expresión.

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Paso 5.1

Simplifica.

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Paso 5.1.1

Combina $\frac{1}{4}$ y $4$ .

$\frac{4}{4} \int \frac{1}{u^{3}} d u$

Paso 5.1.2

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 5.1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{4}{4} \int \frac{1}{u^{3}} d u$

Paso 5.1.2.2

Reescribe la expresión.

$1 \int \frac{1}{u^{3}} d u$

Paso 5.1.3

Multiplica $\int \frac{1}{u^{3}} d u$ por $1$ .

$\int \frac{1}{u^{3}} d u$

Paso 5.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 5.2.1

Mueve $u^{3}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int {(u^{3})}^{- 1} d u$

Paso 5.2.2

Multiplica los exponentes en ${(u^{3})}^{- 1}$ .

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Paso 5.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{3 \cdot - 1} d u$

Paso 5.2.2.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\int u^{- 3} d u$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- 3}$ con respecto a $u$ es $- \frac{1}{2} u^{- 2}$ .

$- \frac{1}{2} u^{- 2} + C$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Reescribe $- \frac{1}{2} u^{- 2} + C$ como $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{u^{2}} + C$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{u^{2}} + C$

Paso 7.2

Simplifica.

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Paso 7.2.1

Multiplica $\frac{1}{u^{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{u^{2} \cdot 2} + C$

Paso 7.2.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u^{2}$ .

$- \frac{1}{2 u^{2}} + C$

Paso 8

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{4} + 12 x$ .

$- \frac{1}{2 {(x^{4} + 12 x)}^{2}} + C$