Cálculo Ejemplos

$\frac{\sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{\frac{1}{2}}}{1 + \sqrt{x}}]$

Paso 1.1.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{\frac{1}{2}}}{1 + x^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = 1 + x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 1.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 1.5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 1.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 1.7

Simplifica el numerador.

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Paso 1.7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 1.7.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 1.8

Combina fracciones.

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Paso 1.8.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 1.8.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 1.8.3

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 1.9

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + x^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 1.10

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} (0 + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 1.11

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 1.12

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 1.13

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 1.14

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 1.15

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 1.16

Simplifica el numerador.

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Paso 1.16.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 1.16.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 1.17

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 1.18

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 1.19

Combina $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ y $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 1.20

Multiplica $x^{- \frac{1}{2}}$ por $x^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.20.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{- \frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{2}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 1.20.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{\frac{- 1 + 1}{2}}}{2}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 1.20.3

Suma $- 1$ y $1$ .

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{\frac{0}{2}}}{2}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 1.20.4

Divide $0$ por $2$ .

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{0}}{2}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 1.21

Simplifica $x^{0}$ .

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 1.22

Para escribir $(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 1.23

Combina $(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 1.24

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot 2 - 1}{2}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 1.25

Combina $2$ y $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1}{2}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 1.26

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1}{2}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 1.27

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - 1}{2}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 1.28

Reescribe $\frac{\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - 1}{2}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$ como un producto.

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - 1}{2} \cdot \frac{1}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 1.29

Multiplica $\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - 1}{2}$ por $\frac{1}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$ .

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - 1}{2 {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 1.30

Simplifica.

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Paso 1.30.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - 1}{2 {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 1.30.2

Simplifica el numerador.

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Paso 1.30.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.30.2.1.1

Multiplica $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ por $1$ .

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - 1}{2 {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 1.30.2.1.2

Cancela el factor común de $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 1.30.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - 1}{2 {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 1.30.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 1 - 1}{2 {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 1.30.2.2

Combina los términos opuestos en $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 1 - 1$ .

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Paso 1.30.2.2.1

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 0}{2 {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 1.30.2.2.2

Suma $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ y $0$ .

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 1.30.3

Combina los términos.

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Paso 1.30.3.1

Reescribe $\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$ como un producto.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 1.30.3.2

Multiplica $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{1}{2 {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} (2 {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Paso 1.30.4

Reordena los términos.

$f' (x) = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 2.1.1

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}]$

Paso 2.1.2

Reescribe $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$ como ${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 1}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}])$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$\frac{1}{2} (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}])$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

$\frac{1}{2} (- {(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}])$

Paso 2.3

Combina fracciones.

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Paso 2.3.1

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2}$ .

$- \frac{{(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2}}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}]$

Paso 2.3.2

Mueve ${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}]$

Paso 2.4

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

$- \frac{1}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}] + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Paso 2.5

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = 1 + x^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 2.5.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $1 + x^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]) + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Paso 2.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- \frac{1}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]) + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Paso 2.5.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $1 + x^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} (2 (1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]) + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Paso 2.6

Diferencia.

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Paso 2.6.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + x^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$- \frac{1}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} (2 (1 + x^{\frac{1}{2}}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])) + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Paso 2.6.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- \frac{1}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} (2 (1 + x^{\frac{1}{2}}) (0 + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])) + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Paso 2.6.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$- \frac{1}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} (2 (1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Paso 2.6.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} (2 (1 + x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Paso 2.7

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} (2 (1 + x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Paso 2.8

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} (2 (1 + x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Paso 2.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{1}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} (2 (1 + x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})) + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Paso 2.10

Simplifica el numerador.

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Paso 2.10.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- \frac{1}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} (2 (1 + x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})) + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Paso 2.10.2

Resta $2$ de $1$ .

$- \frac{1}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} (2 (1 + x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})) + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Paso 2.11

Simplifica los términos.

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Paso 2.11.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} (2 (1 + x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})) + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Paso 2.11.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} (2 (1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}) + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Paso 2.11.3

Combina $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ y $2$ .

$- \frac{1}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} (\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot 2}{2} (1 + x^{\frac{1}{2}})) + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Paso 2.11.4

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.11.4.1

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} (\frac{2 \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} (1 + x^{\frac{1}{2}})) + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Paso 2.11.4.2

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} (\frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}} (1 + x^{\frac{1}{2}})) + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Paso 2.11.5

Cancela el factor común.

$- \frac{1}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} (\frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}} (1 + x^{\frac{1}{2}})) + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Paso 2.11.6

Reescribe la expresión.

$- \frac{1}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (1 + x^{\frac{1}{2}})) + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Paso 2.11.7

Combina $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ y $x^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2}} (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} (1 + x^{\frac{1}{2}}) + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Paso 2.11.8

Cancela el factor común.

$- \frac{1}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2}} (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} (1 + x^{\frac{1}{2}}) + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Paso 2.11.9

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.11.9.1

Reescribe la expresión.

$- \frac{1}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2}} (1 (1 + x^{\frac{1}{2}}) + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Paso 2.11.9.2

Multiplica $1 + x^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$- \frac{1}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2}} (1 + x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Paso 2.12

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2}} (1 + x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Paso 2.13

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2}} (1 + x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Paso 2.14

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2}} (1 + x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Paso 2.15

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{1}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2}} (1 + x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Paso 2.16

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.16.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- \frac{1}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2}} (1 + x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

Paso 2.16.2

Resta $2$ de $1$ .

$- \frac{1}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2}} (1 + x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

Paso 2.17

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2}} (1 + x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

Paso 2.18

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2}} (1 + x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Paso 2.19

Combina ${(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ y $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$- \frac{1}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2}} (1 + x^{\frac{1}{2}} + \frac{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Paso 2.20

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.20.1

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2}} (1 + x^{\frac{1}{2}} + \frac{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Paso 2.20.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$- \frac{1}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Paso 2.21

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{1}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Paso 2.22

Simplifica.

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Paso 2.22.1

Aplica la regla del producto a $x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

$- \frac{1}{2 ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2} {({(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2})} (x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Paso 2.22.2

Combina los términos.

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Paso 2.22.2.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.22.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2} \cdot 2} {({(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2})} (x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Paso 2.22.2.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.22.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$- \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2} \cdot 2} {({(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2})} (x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Paso 2.22.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$- \frac{1}{2 (x^{1} {({(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2})} (x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Paso 2.22.2.2

Simplifica.

$- \frac{1}{2 (x {({(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2})} (x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Paso 2.22.2.3

Multiplica los exponentes en ${({(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2}$ .

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Paso 2.22.2.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2 (x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2 \cdot 2})} (x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Paso 2.22.2.3.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$- \frac{1}{2 (x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4})} (x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

$- \frac{1}{2 x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}} (x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Paso 2.22.3

Reordena los factores de $- \frac{1}{2 x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}} (x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$ .

$- (x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{2 x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Paso 2.22.4

Simplifica el numerador.

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Paso 2.22.4.1

Reescribe ${(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ como $(1 + x^{\frac{1}{2}}) (1 + x^{\frac{1}{2}})$ .

$- (x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + (1 + x^{\frac{1}{2}}) (1 + x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{2 x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Paso 2.22.4.2

Expande $(1 + x^{\frac{1}{2}}) (1 + x^{\frac{1}{2}})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.22.4.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- (x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1 (1 + x^{\frac{1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (1 + x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{2 x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Paso 2.22.4.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- (x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot 1 + 1 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} (1 + x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{2 x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Paso 2.22.4.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- (x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot 1 + 1 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{2 x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Paso 2.22.4.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.22.4.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.22.4.3.1.1

Multiplica $1$ por $1$ .

$- (x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1 + 1 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{2 x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Paso 2.22.4.3.1.2

Multiplica $x^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$- (x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1 + x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{2 x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Paso 2.22.4.3.1.3

Multiplica $x^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$- (x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1 + x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{2 x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Paso 2.22.4.3.1.4

Multiplica $x^{\frac{1}{2}}$ por $x^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.22.4.3.1.4.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- (x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1 + x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{2 x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Paso 2.22.4.3.1.4.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- (x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1 + x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1 + 1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{2 x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Paso 2.22.4.3.1.4.3

Suma $1$ y $1$ .

$- (x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1 + x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{2}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{2 x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Paso 2.22.4.3.1.4.4

Divide $2$ por $2$ .

$- (x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1 + x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} + x^{1}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{2 x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Paso 2.22.4.3.1.5

Simplifica $x^{1}$ .

$- (x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1 + x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} + x}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{2 x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Paso 2.22.4.3.2

Suma $x^{\frac{1}{2}}$ y $x^{\frac{1}{2}}$ .

$- (x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1 + 2 x^{\frac{1}{2}} + x}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{2 x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Paso 2.22.4.4

Suma $2 x^{\frac{1}{2}}$ y $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$- (x^{\frac{1}{2}} + \frac{4 x^{\frac{1}{2}} + 1 + x}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{2 x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Paso 2.22.4.5

Reordena los términos.

$- (x^{\frac{1}{2}} + \frac{x + 4 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{2 x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Paso 2.22.5

Para escribir $x^{\frac{1}{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$- (x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x + 4 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{2 x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Paso 2.22.6

Combina $x^{\frac{1}{2}}$ y $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$- (\frac{x^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x + 4 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{2 x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Paso 2.22.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{x^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}}) + x + 4 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Paso 2.22.8

Simplifica el numerador.

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Paso 2.22.8.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- \frac{2 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + x + 4 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Paso 2.22.8.2

Multiplica $x^{\frac{1}{2}}$ por $x^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.22.8.2.1

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{2 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) + x + 4 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Paso 2.22.8.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{2 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + x + 4 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Paso 2.22.8.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{2 x^{\frac{1 + 1}{2}} + x + 4 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Paso 2.22.8.2.4

Suma $1$ y $1$ .

$- \frac{2 x^{\frac{2}{2}} + x + 4 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Paso 2.22.8.2.5

Divide $2$ por $2$ .

$- \frac{2 x^{1} + x + 4 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Paso 2.22.8.3

Simplifica $2 x^{1}$ .

$- \frac{2 x + x + 4 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Paso 2.22.8.4

Suma $2 x$ y $x$ .

$- \frac{3 x + 4 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Paso 2.22.8.5

Reescribe $3 x + 4 x^{\frac{1}{2}} + 1$ en forma factorizada.

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Paso 2.22.8.5.1

Reescribe $x$ como ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

$- \frac{3 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} + 4 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Paso 2.22.8.5.2

Sea $u = x^{\frac{1}{2}}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{3 u^{2} + 4 u + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Paso 2.22.8.5.3

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.22.8.5.3.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 3 \cdot 1 = 3$ y cuya suma es $b = 4$ .

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Paso 2.22.8.5.3.1.1

Factoriza $4$ de $4 u$ .

$- \frac{3 u^{2} + 4 (u) + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Paso 2.22.8.5.3.1.2

Reescribe $4$ como $1$ más $3$

$- \frac{3 u^{2} + (1 + 3) u + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Paso 2.22.8.5.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{3 u^{2} + 1 u + 3 u + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Paso 2.22.8.5.3.1.4

Multiplica $u$ por $1$ .

$- \frac{3 u^{2} + u + 3 u + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Paso 2.22.8.5.3.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.22.8.5.3.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$- \frac{(3 u^{2} + u) + 3 u + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Paso 2.22.8.5.3.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$- \frac{u (3 u + 1) + 1 (3 u + 1)}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Paso 2.22.8.5.3.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $3 u + 1$ .

$- \frac{(3 u + 1) (u + 1)}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Paso 2.22.8.5.4

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{(3 x^{\frac{1}{2}} + 1) (x^{\frac{1}{2}} + 1)}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Paso 2.22.9

Multiplica $- \frac{(3 x^{\frac{1}{2}} + 1) (x^{\frac{1}{2}} + 1)}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$ .

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Paso 2.22.9.1

Multiplica $\frac{1}{2 x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$ por $\frac{(3 x^{\frac{1}{2}} + 1) (x^{\frac{1}{2}} + 1)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{(3 x^{\frac{1}{2}} + 1) (x^{\frac{1}{2}} + 1)}{2 x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4} (2 x^{\frac{1}{2}})}$

Paso 2.22.9.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$- \frac{(3 x^{\frac{1}{2}} + 1) (x^{\frac{1}{2}} + 1)}{4 x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4} x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.22.9.3

Multiplica $x$ por $x^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.22.9.3.1

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{(3 x^{\frac{1}{2}} + 1) (x^{\frac{1}{2}} + 1)}{4 (x^{\frac{1}{2}} x) {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Paso 2.22.9.3.2

Multiplica $x^{\frac{1}{2}}$ por $x$ .

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Paso 2.22.9.3.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{(3 x^{\frac{1}{2}} + 1) (x^{\frac{1}{2}} + 1)}{4 (x^{\frac{1}{2}} x^{1}) {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Paso 2.22.9.3.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{(3 x^{\frac{1}{2}} + 1) (x^{\frac{1}{2}} + 1)}{4 x^{\frac{1}{2} + 1} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Paso 2.22.9.3.3

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$- \frac{(3 x^{\frac{1}{2}} + 1) (x^{\frac{1}{2}} + 1)}{4 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Paso 2.22.9.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{(3 x^{\frac{1}{2}} + 1) (x^{\frac{1}{2}} + 1)}{4 x^{\frac{1 + 2}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Paso 2.22.9.3.5

Suma $1$ y $2$ .

$- \frac{(3 x^{\frac{1}{2}} + 1) (x^{\frac{1}{2}} + 1)}{4 x^{\frac{3}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Paso 2.22.10

Reordena los términos.

$- \frac{(3 x^{\frac{1}{2}} + 1) (x^{\frac{1}{2}} + 1)}{4 x^{\frac{3}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{4}}$

Paso 2.22.11

Factoriza $x^{\frac{1}{2}} + 1$ de $(3 x^{\frac{1}{2}} + 1) (x^{\frac{1}{2}} + 1)$ .

$- \frac{(x^{\frac{1}{2}} + 1) (3 x^{\frac{1}{2}} + 1)}{4 x^{\frac{3}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{4}}$

Paso 2.22.12

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.22.12.1

Factoriza $x^{\frac{1}{2}} + 1$ de $4 x^{\frac{3}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{4}$ .

$- \frac{(x^{\frac{1}{2}} + 1) (3 x^{\frac{1}{2}} + 1)}{(x^{\frac{1}{2}} + 1) (4 x^{\frac{3}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{3})}$

Paso 2.22.12.2

Cancela el factor común.

$- \frac{(x^{\frac{1}{2}} + 1) (3 x^{\frac{1}{2}} + 1)}{(x^{\frac{1}{2}} + 1) (4 x^{\frac{3}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{3})}$

Paso 2.22.12.3

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = - \frac{3 x^{\frac{1}{2}} + 1}{4 x^{\frac{3}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{3}}$