Cálculo Ejemplos

$\ln (x^{2} + y^{2} + 1)$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = x^{2} + y^{2} + 1$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} + y^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2} + 1]$

Paso 1.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2} + 1]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + y^{2} + 1$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2} + 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2} + 1]$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + y^{2} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2} + 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2} + 1} (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 2.3

Como $y^{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $y^{2}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2} + 1} (2 x + 0 + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 2.4

Suma $2 x$ y $0$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2} + 1} (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 2.5

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2} + 1} (2 x + 0)$

Paso 2.6

Combina fracciones.

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Paso 2.6.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2} + 1} (2 x)$

Paso 2.6.2

Combina $2$ y $\frac{1}{x^{2} + y^{2} + 1}$ .

$\frac{2}{x^{2} + y^{2} + 1} x$

Paso 2.6.3

Combina $\frac{2}{x^{2} + y^{2} + 1}$ y $x$ .

$\frac{2 x}{x^{2} + y^{2} + 1}$