Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} {(e^{x} - x)}^{\frac{1}{\tan (x)}}$

Paso 1

Aplica las identidades trigonométricas.

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Paso 1.1

Reescribe $\tan (x)$ en términos de senos y cosenos.

$lim_{x \to 0} {(e^{x} - x)}^{\frac{1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}}$

Paso 1.2

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$lim_{x \to 0} {(e^{x} - x)}^{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Paso 1.3

Convierte de $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ a $\cot (x)$ .

$lim_{x \to 0} {(e^{x} - x)}^{\cot (x)}$

Paso 2

Usa las propiedades de los logaritmos para simplificar el límite.

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Paso 2.1

Reescribe ${(e^{x} - x)}^{\cot (x)}$ como $e^{\ln ({(e^{x} - x)}^{\cot (x)})}$ .

$lim_{x \to 0} e^{\ln ({(e^{x} - x)}^{\cot (x)})}$

Paso 2.2

Expande $\ln ({(e^{x} - x)}^{\cot (x)})$ ; para ello, mueve $\cot (x)$ fuera del logaritmo.

$lim_{x \to 0} e^{\cot (x) \ln (e^{x} - x)}$

Paso 3

Mueve el límite dentro del exponente.

$e^{lim_{x \to 0} \cot (x) \ln (e^{x} - x)}$

Paso 4

Considera el límite izquierdo.

$lim_{x \to 0^{-}} \cot (x) \ln (e^{x} - x)$

Paso 5

Haz una tabla para mostrar el comportamiento de la función $\cot (x) \ln (e^{x} - x)$ a medida que $x$ se acerca a $0$ desde la izquierda.

$\begin{array}{c} x & \cot (x) \ln (e^{x} - x) \\ - 0.1 & - 0.04809658 \\ - 0.01 & - 0.00498308 \\ - 0.001 & - 0.00049983 \\ - 0.0001 & - 0.00004999 \end{array}$

Paso 6

A medida que los valores de $x$ se acercan a $0$ , los valores de la función se acercan a $0$ . Por lo tanto, el límite de $\cot (x) \ln (e^{x} - x)$ a medida que $x$ se acerca a $0$ desde la izquierda es $0$ .

$0$

Paso 7

Considera el límite derecho.

$lim_{x \to 0^{+}} \cot (x) \ln (e^{x} - x)$

Paso 8

Haz una tabla para mostrar el comportamiento de la función $\cot (x) \ln (e^{x} - x)$ a medida que $x$ se acerca a $0$ desde la derecha.

$\begin{array}{c} x & \cot (x) \ln (e^{x} - x) \\ 0.1 & 0.05140391 \\ 0.01 & 0.00501641 \\ 0.001 & 0.00050016 \\ 0.0001 & 0.00005 \\ 0.00001 & 0.000005 \end{array}$

Paso 9

A medida que los valores de $x$ se acercan a $0$ , los valores de la función se acercan a $0$ . Por lo tanto, el límite de $\cot (x) \ln (e^{x} - x)$ a medida que $x$ se acerca a $0$ desde la derecha es $0$ .

$e^{0}$

Paso 10

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$1$