Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{1} (2 x + 1) e^{x^{2} + x} d x$

Paso 1

Sea $u = x^{2} + x$ . Entonces $d u = (2 x + 1) d x$ , de modo que $\frac{1}{2 x + 1} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = x^{2} + x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $x^{2} + x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + x]$

Paso 1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 x + 1$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = x^{2} + x$ .

$u_{lower} = 0^{2} + 0$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$u_{lower} = 0 + 0$

Paso 1.3.2

Suma $0$ y $0$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = x^{2} + x$ .

$u_{upper} = 1^{2} + 1$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$u_{upper} = 1 + 1$

Paso 1.5.2

Suma $1$ y $1$ .

$u_{upper} = 2$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{0}^{2} e^{u} d u$

Paso 2

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$e^{u}]_{0}^{2}$

Paso 3

Sustituye y simplifica.

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Paso 3.1

Evalúa $e^{u}$ en $2$ y en $0$ .

$(e^{2}) - e^{0}$

Paso 3.2

Simplifica.

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Paso 3.2.1

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$e^{2} - 1 \cdot 1$

Paso 3.2.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$e^{2} - 1$

Paso 4

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$e^{2} - 1$

Forma decimal:

$6.38905609 \dots$

Paso 5