Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{2}{x - 8} + \frac{x}{3 x - 4}}{\frac{x}{2 x - 16} + \frac{1}{3 x - 4}}$

Paso 1

Combina los términos.

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Paso 1.1

Para escribir $\frac{2}{x - 8}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3 x - 4}{3 x - 4}$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{2}{x - 8} \cdot \frac{3 x - 4}{3 x - 4} + \frac{x}{3 x - 4}}{\frac{x}{2 x - 16} + \frac{1}{3 x - 4}}$

Paso 1.2

Para escribir $\frac{x}{3 x - 4}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x - 8}{x - 8}$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{2}{x - 8} \cdot \frac{3 x - 4}{3 x - 4} + \frac{x}{3 x - 4} \cdot \frac{x - 8}{x - 8}}{\frac{x}{2 x - 16} + \frac{1}{3 x - 4}}$

Paso 1.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $(x - 8) (3 x - 4)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 1.3.1

Multiplica $\frac{2}{x - 8}$ por $\frac{3 x - 4}{3 x - 4}$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{2 (3 x - 4)}{(x - 8) (3 x - 4)} + \frac{x}{3 x - 4} \cdot \frac{x - 8}{x - 8}}{\frac{x}{2 x - 16} + \frac{1}{3 x - 4}}$

Paso 1.3.2

Multiplica $\frac{x}{3 x - 4}$ por $\frac{x - 8}{x - 8}$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{2 (3 x - 4)}{(x - 8) (3 x - 4)} + \frac{x (x - 8)}{(3 x - 4) (x - 8)}}{\frac{x}{2 x - 16} + \frac{1}{3 x - 4}}$

Paso 1.3.3

Reordena los factores de $(x - 8) (3 x - 4)$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{2 (3 x - 4)}{(3 x - 4) (x - 8)} + \frac{x (x - 8)}{(3 x - 4) (x - 8)}}{\frac{x}{2 x - 16} + \frac{1}{3 x - 4}}$

Paso 1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{2 (3 x - 4) + x (x - 8)}{(3 x - 4) (x - 8)}}{\frac{x}{2 x - 16} + \frac{1}{3 x - 4}}$

Paso 1.5

Para escribir $\frac{x}{2 x - 16}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3 x - 4}{3 x - 4}$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{2 (3 x - 4) + x (x - 8)}{(3 x - 4) (x - 8)}}{\frac{x}{2 x - 16} \cdot \frac{3 x - 4}{3 x - 4} + \frac{1}{3 x - 4}}$

Paso 1.6

Para escribir $\frac{1}{3 x - 4}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2 x - 16}{2 x - 16}$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{2 (3 x - 4) + x (x - 8)}{(3 x - 4) (x - 8)}}{\frac{x}{2 x - 16} \cdot \frac{3 x - 4}{3 x - 4} + \frac{1}{3 x - 4} \cdot \frac{2 x - 16}{2 x - 16}}$

Paso 1.7

Escribe cada expresión con un denominador común de $(2 x - 16) (3 x - 4)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 1.7.1

Multiplica $\frac{x}{2 x - 16}$ por $\frac{3 x - 4}{3 x - 4}$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{2 (3 x - 4) + x (x - 8)}{(3 x - 4) (x - 8)}}{\frac{x (3 x - 4)}{(2 x - 16) (3 x - 4)} + \frac{1}{3 x - 4} \cdot \frac{2 x - 16}{2 x - 16}}$

Paso 1.7.2

Multiplica $\frac{1}{3 x - 4}$ por $\frac{2 x - 16}{2 x - 16}$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{2 (3 x - 4) + x (x - 8)}{(3 x - 4) (x - 8)}}{\frac{x (3 x - 4)}{(2 x - 16) (3 x - 4)} + \frac{2 x - 16}{(3 x - 4) (2 x - 16)}}$

Paso 1.7.3

Reordena los factores de $(3 x - 4) (2 x - 16)$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{2 (3 x - 4) + x (x - 8)}{(3 x - 4) (x - 8)}}{\frac{x (3 x - 4)}{(2 x - 16) (3 x - 4)} + \frac{2 x - 16}{(2 x - 16) (3 x - 4)}}$

Paso 1.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{2 (3 x - 4) + x (x - 8)}{(3 x - 4) (x - 8)}}{\frac{x (3 x - 4) + 2 x - 16}{(2 x - 16) (3 x - 4)}}$

Paso 2

Simplifica el argumento de límite.

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Paso 2.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{x \to - 2} \frac{2 (3 x - 4) + x (x - 8)}{(3 x - 4) (x - 8)} \cdot \frac{(2 x - 16) (3 x - 4)}{x (3 x - 4) + 2 x - 16}$

Paso 2.2

Multiplica $\frac{2 (3 x - 4) + x (x - 8)}{(3 x - 4) (x - 8)}$ por $\frac{(2 x - 16) (3 x - 4)}{x (3 x - 4) + 2 x - 16}$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{(2 (3 x - 4) + x (x - 8)) ((2 x - 16) (3 x - 4))}{(3 x - 4) (x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)}$

Paso 2.3

Cancela el factor común de $3 x - 4$ .

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Paso 2.3.1

Cancela el factor común.

$lim_{x \to - 2} \frac{(2 (3 x - 4) + x (x - 8)) ((2 x - 16) (3 x - 4))}{(3 x - 4) (x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)}$

Paso 2.3.2

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to - 2} \frac{(2 (3 x - 4) + x (x - 8)) (2 x - 16)}{(x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)}$

Paso 3

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 3.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 3.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to - 2} (2 (3 x - 4) + x (x - 8)) (2 x - 16)}{lim_{x \to - 2} (x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)}$

Paso 3.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 3.1.2.1

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 2$ .

$\frac{lim_{x \to - 2} 2 (3 x - 4) + x (x - 8) \cdot lim_{x \to - 2} 2 x - 16}{lim_{x \to - 2} (x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)}$

Paso 3.1.2.2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 2$ .

$\frac{(lim_{x \to - 2} 2 (3 x - 4) + lim_{x \to - 2} x (x - 8)) \cdot lim_{x \to - 2} 2 x - 16}{lim_{x \to - 2} (x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)}$

Paso 3.1.2.3

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{(2 lim_{x \to - 2} 3 x - 4 + lim_{x \to - 2} x (x - 8)) \cdot lim_{x \to - 2} 2 x - 16}{lim_{x \to - 2} (x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)}$

Paso 3.1.2.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 2$ .

$\frac{(2 (lim_{x \to - 2} 3 x - lim_{x \to - 2} 4) + lim_{x \to - 2} x (x - 8)) \cdot lim_{x \to - 2} 2 x - 16}{lim_{x \to - 2} (x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)}$

Paso 3.1.2.5

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{(2 (3 lim_{x \to - 2} x - lim_{x \to - 2} 4) + lim_{x \to - 2} x (x - 8)) \cdot lim_{x \to - 2} 2 x - 16}{lim_{x \to - 2} (x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)}$

Paso 3.1.2.6

Evalúa el límite de $4$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- 2$ .

$\frac{(2 (3 lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 4) + lim_{x \to - 2} x (x - 8)) \cdot lim_{x \to - 2} 2 x - 16}{lim_{x \to - 2} (x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)}$

Paso 3.1.2.7

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 2$ .

$\frac{(2 (3 lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 4) + lim_{x \to - 2} x \cdot lim_{x \to - 2} x - 8) \cdot lim_{x \to - 2} 2 x - 16}{lim_{x \to - 2} (x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)}$

Paso 3.1.2.8

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 2$ .

$\frac{(2 (3 lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 4) + lim_{x \to - 2} x \cdot (lim_{x \to - 2} x - lim_{x \to - 2} 8)) \cdot lim_{x \to - 2} 2 x - 16}{lim_{x \to - 2} (x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)}$

Paso 3.1.2.9

Evalúa el límite de $8$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- 2$ .

$\frac{(2 (3 lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 4) + lim_{x \to - 2} x \cdot (lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 8)) \cdot lim_{x \to - 2} 2 x - 16}{lim_{x \to - 2} (x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)}$

Paso 3.1.2.10

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 2$ .

$\frac{(2 (3 lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 4) + lim_{x \to - 2} x \cdot (lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 8)) \cdot (lim_{x \to - 2} 2 x - lim_{x \to - 2} 16)}{lim_{x \to - 2} (x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)}$

Paso 3.1.2.11

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{(2 (3 lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 4) + lim_{x \to - 2} x \cdot (lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 8)) \cdot (2 lim_{x \to - 2} x - lim_{x \to - 2} 16)}{lim_{x \to - 2} (x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)}$

Paso 3.1.2.12

Evalúa el límite de $16$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- 2$ .

$\frac{(2 (3 lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 4) + lim_{x \to - 2} x \cdot (lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 8)) \cdot (2 lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 16)}{lim_{x \to - 2} (x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)}$

Paso 3.1.2.13

Evalúa los límites mediante el ingreso de $- 2$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 3.1.2.13.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 2$ para $x$ .

$\frac{(2 (3 \cdot - 2 - 1 \cdot 4) + lim_{x \to - 2} x \cdot (lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 8)) \cdot (2 lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 16)}{lim_{x \to - 2} (x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)}$

Paso 3.1.2.13.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 2$ para $x$ .

$\frac{(2 (3 \cdot - 2 - 1 \cdot 4) - 2 \cdot (lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 8)) \cdot (2 lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 16)}{lim_{x \to - 2} (x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)}$

Paso 3.1.2.13.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 2$ para $x$ .

$\frac{(2 (3 \cdot - 2 - 1 \cdot 4) - 2 \cdot (- 2 - 1 \cdot 8)) \cdot (2 lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 16)}{lim_{x \to - 2} (x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)}$

Paso 3.1.2.13.4

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 2$ para $x$ .

$\frac{(2 (3 \cdot - 2 - 1 \cdot 4) - 2 \cdot (- 2 - 1 \cdot 8)) \cdot (2 \cdot - 2 - 1 \cdot 16)}{lim_{x \to - 2} (x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)}$

Paso 3.1.2.14

Simplifica la respuesta.

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Paso 3.1.2.14.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.2.14.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.2.14.1.1.1

Multiplica $3$ por $- 2$ .

$\frac{(2 (- 6 - 1 \cdot 4) - 2 \cdot (- 2 - 1 \cdot 8)) \cdot (2 \cdot - 2 - 1 \cdot 16)}{lim_{x \to - 2} (x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)}$

Paso 3.1.2.14.1.1.2

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$\frac{(2 (- 6 - 4) - 2 \cdot (- 2 - 1 \cdot 8)) \cdot (2 \cdot - 2 - 1 \cdot 16)}{lim_{x \to - 2} (x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)}$

Paso 3.1.2.14.1.2

Resta $4$ de $- 6$ .

$\frac{(2 \cdot - 10 - 2 \cdot (- 2 - 1 \cdot 8)) \cdot (2 \cdot - 2 - 1 \cdot 16)}{lim_{x \to - 2} (x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)}$

Paso 3.1.2.14.1.3

Multiplica $2$ por $- 10$ .

$\frac{(- 20 - 2 \cdot (- 2 - 1 \cdot 8)) \cdot (2 \cdot - 2 - 1 \cdot 16)}{lim_{x \to - 2} (x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)}$

Paso 3.1.2.14.1.4

Multiplica $- 1$ por $8$ .

$\frac{(- 20 - 2 \cdot (- 2 - 8)) \cdot (2 \cdot - 2 - 1 \cdot 16)}{lim_{x \to - 2} (x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)}$

Paso 3.1.2.14.1.5

Resta $8$ de $- 2$ .

$\frac{(- 20 - 2 \cdot - 10) \cdot (2 \cdot - 2 - 1 \cdot 16)}{lim_{x \to - 2} (x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)}$

Paso 3.1.2.14.1.6

Multiplica $- 2$ por $- 10$ .

$\frac{(- 20 + 20) \cdot (2 \cdot - 2 - 1 \cdot 16)}{lim_{x \to - 2} (x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)}$

Paso 3.1.2.14.2

Suma $- 20$ y $20$ .

$\frac{0 \cdot (2 \cdot - 2 - 1 \cdot 16)}{lim_{x \to - 2} (x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)}$

Paso 3.1.2.14.3

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.2.14.3.1

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$\frac{0 \cdot (- 4 - 1 \cdot 16)}{lim_{x \to - 2} (x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)}$

Paso 3.1.2.14.3.2

Multiplica $- 1$ por $16$ .

$\frac{0 \cdot (- 4 - 16)}{lim_{x \to - 2} (x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)}$

Paso 3.1.2.14.4

Resta $16$ de $- 4$ .

$\frac{0 \cdot - 20}{lim_{x \to - 2} (x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)}$

Paso 3.1.2.14.5

Multiplica $0$ por $- 20$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 2} (x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)}$

Paso 3.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 3.1.3.1

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 2} x - 8 \cdot lim_{x \to - 2} x (3 x - 4) + 2 x - 16}$

Paso 3.1.3.2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 2$ .

$\frac{0}{(lim_{x \to - 2} x - lim_{x \to - 2} 8) \cdot lim_{x \to - 2} x (3 x - 4) + 2 x - 16}$

Paso 3.1.3.3

Evalúa el límite de $8$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- 2$ .

$\frac{0}{(lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 8) \cdot lim_{x \to - 2} x (3 x - 4) + 2 x - 16}$

Paso 3.1.3.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 2$ .

$\frac{0}{(lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 8) \cdot (lim_{x \to - 2} x (3 x - 4) + lim_{x \to - 2} 2 x - lim_{x \to - 2} 16)}$

Paso 3.1.3.5

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 2$ .

$\frac{0}{(lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 8) \cdot (lim_{x \to - 2} x \cdot lim_{x \to - 2} 3 x - 4 + lim_{x \to - 2} 2 x - lim_{x \to - 2} 16)}$

Paso 3.1.3.6

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 2$ .

$\frac{0}{(lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 8) \cdot (lim_{x \to - 2} x \cdot (lim_{x \to - 2} 3 x - lim_{x \to - 2} 4) + lim_{x \to - 2} 2 x - lim_{x \to - 2} 16)}$

Paso 3.1.3.7

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{0}{(lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 8) \cdot (lim_{x \to - 2} x \cdot (3 lim_{x \to - 2} x - lim_{x \to - 2} 4) + lim_{x \to - 2} 2 x - lim_{x \to - 2} 16)}$

Paso 3.1.3.8

Evalúa el límite de $4$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- 2$ .

$\frac{0}{(lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 8) \cdot (lim_{x \to - 2} x \cdot (3 lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 4) + lim_{x \to - 2} 2 x - lim_{x \to - 2} 16)}$

Paso 3.1.3.9

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{0}{(lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 8) \cdot (lim_{x \to - 2} x \cdot (3 lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 4) + 2 lim_{x \to - 2} x - lim_{x \to - 2} 16)}$

Paso 3.1.3.10

Evalúa el límite de $16$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- 2$ .

$\frac{0}{(lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 8) \cdot (lim_{x \to - 2} x \cdot (3 lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 4) + 2 lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 16)}$

Paso 3.1.3.11

Evalúa los límites mediante el ingreso de $- 2$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 3.1.3.11.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 2$ para $x$ .

$\frac{0}{(- 2 - 1 \cdot 8) \cdot (lim_{x \to - 2} x \cdot (3 lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 4) + 2 lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 16)}$

Paso 3.1.3.11.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 2$ para $x$ .

$\frac{0}{(- 2 - 1 \cdot 8) \cdot (- 2 \cdot (3 lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 4) + 2 lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 16)}$

Paso 3.1.3.11.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 2$ para $x$ .

$\frac{0}{(- 2 - 1 \cdot 8) \cdot (- 2 \cdot (3 \cdot - 2 - 1 \cdot 4) + 2 lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 16)}$

Paso 3.1.3.11.4

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 2$ para $x$ .

$\frac{0}{(- 2 - 1 \cdot 8) \cdot (- 2 \cdot (3 \cdot - 2 - 1 \cdot 4) + 2 \cdot - 2 - 1 \cdot 16)}$

Paso 3.1.3.12

Simplifica la respuesta.

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Paso 3.1.3.12.1

Multiplica $- 1$ por $8$ .

$\frac{0}{(- 2 - 8) \cdot (- 2 \cdot (3 \cdot - 2 - 1 \cdot 4) + 2 \cdot - 2 - 1 \cdot 16)}$

Paso 3.1.3.12.2

Resta $8$ de $- 2$ .

$\frac{0}{- 10 \cdot (- 2 \cdot (3 \cdot - 2 - 1 \cdot 4) + 2 \cdot - 2 - 1 \cdot 16)}$

Paso 3.1.3.12.3

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.3.12.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.3.12.3.1.1

Multiplica $3$ por $- 2$ .

$\frac{0}{- 10 \cdot (- 2 \cdot (- 6 - 1 \cdot 4) + 2 \cdot - 2 - 1 \cdot 16)}$

Paso 3.1.3.12.3.1.2

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$\frac{0}{- 10 \cdot (- 2 \cdot (- 6 - 4) + 2 \cdot - 2 - 1 \cdot 16)}$

Paso 3.1.3.12.3.2

Resta $4$ de $- 6$ .

$\frac{0}{- 10 \cdot (- 2 \cdot - 10 + 2 \cdot - 2 - 1 \cdot 16)}$

Paso 3.1.3.12.3.3

Multiplica $- 2$ por $- 10$ .

$\frac{0}{- 10 \cdot (20 + 2 \cdot - 2 - 1 \cdot 16)}$

Paso 3.1.3.12.3.4

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$\frac{0}{- 10 \cdot (20 - 4 - 1 \cdot 16)}$

Paso 3.1.3.12.3.5

Multiplica $- 1$ por $16$ .

$\frac{0}{- 10 \cdot (20 - 4 - 16)}$

Paso 3.1.3.12.4

Resta $4$ de $20$ .

$\frac{0}{- 10 \cdot (16 - 16)}$

Paso 3.1.3.12.5

Resta $16$ de $16$ .

$\frac{0}{- 10 \cdot 0}$

Paso 3.1.3.12.6

Multiplica $- 10$ por $0$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 3.1.3.12.7

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 3.1.3.13

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 3.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 3.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to - 2} \frac{(2 (3 x - 4) + x (x - 8)) (2 x - 16)}{(x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)} = lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [(2 (3 x - 4) + x (x - 8)) (2 x - 16)]}{\frac{d}{d x} [(x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)]}$

Paso 3.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [(2 (3 x - 4) + x (x - 8)) (2 x - 16)]}{\frac{d}{d x} [(x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)]}$

Paso 3.3.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [(2 (3 x) + 2 \cdot - 4 + x (x - 8)) (2 x - 16)]}{\frac{d}{d x} [(x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)]}$

Paso 3.3.2.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [(6 x + 2 \cdot - 4 + x (x - 8)) (2 x - 16)]}{\frac{d}{d x} [(x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)]}$

Paso 3.3.2.3

Multiplica $2$ por $- 4$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [(6 x - 8 + x (x - 8)) (2 x - 16)]}{\frac{d}{d x} [(x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)]}$

Paso 3.3.2.4

Aplica la propiedad distributiva.

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [(6 x - 8 + x \cdot x + x \cdot - 8) (2 x - 16)]}{\frac{d}{d x} [(x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)]}$

Paso 3.3.2.5

Multiplica $x$ por $x$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [(6 x - 8 + x^{2} + x \cdot - 8) (2 x - 16)]}{\frac{d}{d x} [(x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)]}$

Paso 3.3.2.6

Mueve $- 8$ a la izquierda de $x$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [(6 x - 8 + x^{2} - 8 x) (2 x - 16)]}{\frac{d}{d x} [(x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)]}$

Paso 3.3.3

Resta $8 x$ de $6 x$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [(- 2 x - 8 + x^{2}) (2 x - 16)]}{\frac{d}{d x} [(x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)]}$

Paso 3.3.4

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = - 2 x - 8 + x^{2}$ y $g (x) = 2 x - 16$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{(- 2 x - 8 + x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x - 16] + (2 x - 16) \frac{d}{d x} [- 2 x - 8 + x^{2}]}{\frac{d}{d x} [(x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)]}$

Paso 3.3.5

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x - 16$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{(- 2 x - 8 + x^{2}) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 16]) + (2 x - 16) \frac{d}{d x} [- 2 x - 8 + x^{2}]}{\frac{d}{d x} [(x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)]}$

Paso 3.3.6

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{(- 2 x - 8 + x^{2}) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 16]) + (2 x - 16) \frac{d}{d x} [- 2 x - 8 + x^{2}]}{\frac{d}{d x} [(x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)]}$

Paso 3.3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{(- 2 x - 8 + x^{2}) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 16]) + (2 x - 16) \frac{d}{d x} [- 2 x - 8 + x^{2}]}{\frac{d}{d x} [(x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)]}$

Paso 3.3.8

Multiplica $2$ por $1$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{(- 2 x - 8 + x^{2}) (2 + \frac{d}{d x} [- 16]) + (2 x - 16) \frac{d}{d x} [- 2 x - 8 + x^{2}]}{\frac{d}{d x} [(x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)]}$

Paso 3.3.9

Como $- 16$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 16$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{(- 2 x - 8 + x^{2}) (2 + 0) + (2 x - 16) \frac{d}{d x} [- 2 x - 8 + x^{2}]}{\frac{d}{d x} [(x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)]}$

Paso 3.3.10

Suma $2$ y $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{(- 2 x - 8 + x^{2}) \cdot 2 + (2 x - 16) \frac{d}{d x} [- 2 x - 8 + x^{2}]}{\frac{d}{d x} [(x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)]}$

Paso 3.3.11

Mueve $2$ a la izquierda de $- 2 x - 8 + x^{2}$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{2 \cdot (- 2 x - 8 + x^{2}) + (2 x - 16) \frac{d}{d x} [- 2 x - 8 + x^{2}]}{\frac{d}{d x} [(x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)]}$

Paso 3.3.12

Según la regla de la suma, la derivada de $- 2 x - 8 + x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 8] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{2 (- 2 x - 8 + x^{2}) + (2 x - 16) (\frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 8] + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\frac{d}{d x} [(x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)]}$

Paso 3.3.13

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{2 (- 2 x - 8 + x^{2}) + (2 x - 16) (- 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8] + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\frac{d}{d x} [(x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)]}$

Paso 3.3.14

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{2 (- 2 x - 8 + x^{2}) + (2 x - 16) (- 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8] + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\frac{d}{d x} [(x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)]}$

Paso 3.3.15

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{2 (- 2 x - 8 + x^{2}) + (2 x - 16) (- 2 + \frac{d}{d x} [- 8] + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\frac{d}{d x} [(x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)]}$

Paso 3.3.16

Como $- 8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 8$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{2 (- 2 x - 8 + x^{2}) + (2 x - 16) (- 2 + 0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\frac{d}{d x} [(x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)]}$

Paso 3.3.17

Suma $- 2$ y $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{2 (- 2 x - 8 + x^{2}) + (2 x - 16) (- 2 + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\frac{d}{d x} [(x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)]}$

Paso 3.3.18

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{2 (- 2 x - 8 + x^{2}) + (2 x - 16) (- 2 + 2 x)}{\frac{d}{d x} [(x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)]}$

Paso 3.3.19

Simplifica.

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Paso 3.3.19.1

Aplica la propiedad distributiva.

$lim_{x \to - 2} \frac{2 (- 2 x) + 2 \cdot - 8 + 2 x^{2} + (2 x - 16) (- 2 + 2 x)}{\frac{d}{d x} [(x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)]}$

Paso 3.3.19.2

Aplica la propiedad distributiva.

$lim_{x \to - 2} \frac{2 (- 2 x) + 2 \cdot - 8 + 2 x^{2} + (2 x - 16) \cdot - 2 + (2 x - 16) (2 x)}{\frac{d}{d x} [(x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)]}$

Paso 3.3.19.3

Aplica la propiedad distributiva.

$lim_{x \to - 2} \frac{2 (- 2 x) + 2 \cdot - 8 + 2 x^{2} + 2 x \cdot - 2 - 16 \cdot - 2 + (2 x - 16) (2 x)}{\frac{d}{d x} [(x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)]}$

Paso 3.3.19.4

Aplica la propiedad distributiva.

$lim_{x \to - 2} \frac{2 (- 2 x) + 2 \cdot - 8 + 2 x^{2} + 2 x \cdot - 2 - 16 \cdot - 2 + 2 x (2 x) - 16 (2 x)}{\frac{d}{d x} [(x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)]}$

Paso 3.3.19.5

Combina los términos.

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Paso 3.3.19.5.1

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- 4 x + 2 \cdot - 8 + 2 x^{2} + 2 x \cdot - 2 - 16 \cdot - 2 + 2 x (2 x) - 16 (2 x)}{\frac{d}{d x} [(x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)]}$

Paso 3.3.19.5.2

Multiplica $2$ por $- 8$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- 4 x - 16 + 2 x^{2} + 2 x \cdot - 2 - 16 \cdot - 2 + 2 x (2 x) - 16 (2 x)}{\frac{d}{d x} [(x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)]}$

Paso 3.3.19.5.3

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- 4 x - 16 + 2 x^{2} - 4 x - 16 \cdot - 2 + 2 x (2 x) - 16 (2 x)}{\frac{d}{d x} [(x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)]}$

Paso 3.3.19.5.4

Multiplica $- 16$ por $- 2$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- 4 x - 16 + 2 x^{2} - 4 x + 32 + 2 x (2 x) - 16 (2 x)}{\frac{d}{d x} [(x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)]}$

Paso 3.3.19.5.5

Multiplica $2$ por $2$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- 4 x - 16 + 2 x^{2} - 4 x + 32 + 4 x \cdot x - 16 (2 x)}{\frac{d}{d x} [(x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)]}$

Paso 3.3.19.5.6

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- 4 x - 16 + 2 x^{2} - 4 x + 32 + 4 (x^{1} x) - 16 (2 x)}{\frac{d}{d x} [(x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)]}$

Paso 3.3.19.5.7

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- 4 x - 16 + 2 x^{2} - 4 x + 32 + 4 (x^{1} x^{1}) - 16 (2 x)}{\frac{d}{d x} [(x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)]}$

Paso 3.3.19.5.8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$lim_{x \to - 2} \frac{- 4 x - 16 + 2 x^{2} - 4 x + 32 + 4 x^{1 + 1} - 16 (2 x)}{\frac{d}{d x} [(x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)]}$

Paso 3.3.19.5.9

Suma $1$ y $1$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- 4 x - 16 + 2 x^{2} - 4 x + 32 + 4 x^{2} - 16 (2 x)}{\frac{d}{d x} [(x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)]}$

Paso 3.3.19.5.10

Multiplica $2$ por $- 16$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- 4 x - 16 + 2 x^{2} - 4 x + 32 + 4 x^{2} - 32 x}{\frac{d}{d x} [(x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)]}$

Paso 3.3.19.5.11

Resta $32 x$ de $- 4 x$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- 4 x - 16 + 2 x^{2} - 36 x + 32 + 4 x^{2}}{\frac{d}{d x} [(x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)]}$

Paso 3.3.19.5.12

Resta $36 x$ de $- 4 x$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- 40 x - 16 + 2 x^{2} + 32 + 4 x^{2}}{\frac{d}{d x} [(x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)]}$

Paso 3.3.19.5.13

Suma $- 16$ y $32$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- 40 x + 2 x^{2} + 16 + 4 x^{2}}{\frac{d}{d x} [(x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)]}$

Paso 3.3.19.5.14

Suma $2 x^{2}$ y $4 x^{2}$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- 40 x + 6 x^{2} + 16}{\frac{d}{d x} [(x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)]}$

Paso 3.3.19.6

Reordena los términos.

$lim_{x \to - 2} \frac{6 x^{2} - 40 x + 16}{\frac{d}{d x} [(x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)]}$

Paso 3.3.20

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.20.1

Aplica la propiedad distributiva.

$lim_{x \to - 2} \frac{6 x^{2} - 40 x + 16}{\frac{d}{d x} [(x - 8) (x (3 x) + x \cdot - 4 + 2 x - 16)]}$

Paso 3.3.20.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$lim_{x \to - 2} \frac{6 x^{2} - 40 x + 16}{\frac{d}{d x} [(x - 8) (3 x \cdot x + x \cdot - 4 + 2 x - 16)]}$

Paso 3.3.20.3

Mueve $- 4$ a la izquierda de $x$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{6 x^{2} - 40 x + 16}{\frac{d}{d x} [(x - 8) (3 x \cdot x - 4 \cdot x + 2 x - 16)]}$

Paso 3.3.20.4

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.20.4.1

Mueve $x$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{6 x^{2} - 40 x + 16}{\frac{d}{d x} [(x - 8) (3 (x \cdot x) - 4 \cdot x + 2 x - 16)]}$

Paso 3.3.20.4.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{6 x^{2} - 40 x + 16}{\frac{d}{d x} [(x - 8) (3 x^{2} - 4 \cdot x + 2 x - 16)]}$

$lim_{x \to - 2} \frac{6 x^{2} - 40 x + 16}{\frac{d}{d x} [(x - 8) (3 x^{2} - 4 x + 2 x - 16)]}$

Paso 3.3.21

Suma $- 4 x$ y $2 x$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{6 x^{2} - 40 x + 16}{\frac{d}{d x} [(x - 8) (3 x^{2} - 2 x - 16)]}$

Paso 3.3.22

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x - 8$ y $g (x) = 3 x^{2} - 2 x - 16$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{6 x^{2} - 40 x + 16}{(x - 8) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x - 16] + (3 x^{2} - 2 x - 16) \frac{d}{d x} [x - 8]}$

Paso 3.3.23

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x^{2} - 2 x - 16$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{6 x^{2} - 40 x + 16}{(x - 8) (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 16]) + (3 x^{2} - 2 x - 16) \frac{d}{d x} [x - 8]}$

Paso 3.3.24

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{6 x^{2} - 40 x + 16}{(x - 8) (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 16]) + (3 x^{2} - 2 x - 16) \frac{d}{d x} [x - 8]}$

Paso 3.3.25

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{6 x^{2} - 40 x + 16}{(x - 8) (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 16]) + (3 x^{2} - 2 x - 16) \frac{d}{d x} [x - 8]}$

Paso 3.3.26

Multiplica $2$ por $3$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{6 x^{2} - 40 x + 16}{(x - 8) (6 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 16]) + (3 x^{2} - 2 x - 16) \frac{d}{d x} [x - 8]}$

Paso 3.3.27

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{6 x^{2} - 40 x + 16}{(x - 8) (6 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 16]) + (3 x^{2} - 2 x - 16) \frac{d}{d x} [x - 8]}$

Paso 3.3.28

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{6 x^{2} - 40 x + 16}{(x - 8) (6 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 16]) + (3 x^{2} - 2 x - 16) \frac{d}{d x} [x - 8]}$

Paso 3.3.29

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{6 x^{2} - 40 x + 16}{(x - 8) (6 x - 2 + \frac{d}{d x} [- 16]) + (3 x^{2} - 2 x - 16) \frac{d}{d x} [x - 8]}$

Paso 3.3.30

Como $- 16$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 16$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{6 x^{2} - 40 x + 16}{(x - 8) (6 x - 2 + 0) + (3 x^{2} - 2 x - 16) \frac{d}{d x} [x - 8]}$

Paso 3.3.31

Suma $6 x - 2$ y $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{6 x^{2} - 40 x + 16}{(x - 8) (6 x - 2) + (3 x^{2} - 2 x - 16) \frac{d}{d x} [x - 8]}$

Paso 3.3.32

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 8$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{6 x^{2} - 40 x + 16}{(x - 8) (6 x - 2) + (3 x^{2} - 2 x - 16) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8])}$

Paso 3.3.33

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{6 x^{2} - 40 x + 16}{(x - 8) (6 x - 2) + (3 x^{2} - 2 x - 16) (1 + \frac{d}{d x} [- 8])}$

Paso 3.3.34

Como $- 8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 8$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{6 x^{2} - 40 x + 16}{(x - 8) (6 x - 2) + (3 x^{2} - 2 x - 16) (1 + 0)}$

Paso 3.3.35

Suma $1$ y $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{6 x^{2} - 40 x + 16}{(x - 8) (6 x - 2) + (3 x^{2} - 2 x - 16) \cdot 1}$

Paso 3.3.36

Multiplica $3 x^{2} - 2 x - 16$ por $1$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{6 x^{2} - 40 x + 16}{(x - 8) (6 x - 2) + 3 x^{2} - 2 x - 16}$

Paso 3.3.37

Simplifica.

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Paso 3.3.37.1

Aplica la propiedad distributiva.

$lim_{x \to - 2} \frac{6 x^{2} - 40 x + 16}{(x - 8) (6 x) + (x - 8) \cdot - 2 + 3 x^{2} - 2 x - 16}$

Paso 3.3.37.2

Aplica la propiedad distributiva.

$lim_{x \to - 2} \frac{6 x^{2} - 40 x + 16}{x (6 x) - 8 (6 x) + (x - 8) \cdot - 2 + 3 x^{2} - 2 x - 16}$

Paso 3.3.37.3

Aplica la propiedad distributiva.

$lim_{x \to - 2} \frac{6 x^{2} - 40 x + 16}{x (6 x) - 8 (6 x) + x \cdot - 2 - 8 \cdot - 2 + 3 x^{2} - 2 x - 16}$

Paso 3.3.37.4

Combina los términos.

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Paso 3.3.37.4.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{6 x^{2} - 40 x + 16}{6 (x^{1} x) - 8 (6 x) + x \cdot - 2 - 8 \cdot - 2 + 3 x^{2} - 2 x - 16}$

Paso 3.3.37.4.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{6 x^{2} - 40 x + 16}{6 (x^{1} x^{1}) - 8 (6 x) + x \cdot - 2 - 8 \cdot - 2 + 3 x^{2} - 2 x - 16}$

Paso 3.3.37.4.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$lim_{x \to - 2} \frac{6 x^{2} - 40 x + 16}{6 x^{1 + 1} - 8 (6 x) + x \cdot - 2 - 8 \cdot - 2 + 3 x^{2} - 2 x - 16}$

Paso 3.3.37.4.4

Suma $1$ y $1$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{6 x^{2} - 40 x + 16}{6 x^{2} - 8 (6 x) + x \cdot - 2 - 8 \cdot - 2 + 3 x^{2} - 2 x - 16}$

Paso 3.3.37.4.5

Multiplica $6$ por $- 8$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{6 x^{2} - 40 x + 16}{6 x^{2} - 48 x + x \cdot - 2 - 8 \cdot - 2 + 3 x^{2} - 2 x - 16}$

Paso 3.3.37.4.6

Mueve $- 2$ a la izquierda de $x$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{6 x^{2} - 40 x + 16}{6 x^{2} - 48 x - 2 \cdot x - 8 \cdot - 2 + 3 x^{2} - 2 x - 16}$

Paso 3.3.37.4.7

Multiplica $- 8$ por $- 2$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{6 x^{2} - 40 x + 16}{6 x^{2} - 48 x - 2 x + 16 + 3 x^{2} - 2 x - 16}$

Paso 3.3.37.4.8

Resta $2 x$ de $- 48 x$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{6 x^{2} - 40 x + 16}{6 x^{2} - 50 x + 16 + 3 x^{2} - 2 x - 16}$

Paso 3.3.37.4.9

Suma $6 x^{2}$ y $3 x^{2}$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{6 x^{2} - 40 x + 16}{9 x^{2} - 50 x + 16 - 2 x - 16}$

Paso 3.3.37.4.10

Resta $2 x$ de $- 50 x$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{6 x^{2} - 40 x + 16}{9 x^{2} - 52 x + 16 - 16}$

Paso 3.3.37.4.11

Resta $16$ de $16$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{6 x^{2} - 40 x + 16}{9 x^{2} - 52 x + 0}$

Paso 3.3.37.4.12

Suma $9 x^{2} - 52 x$ y $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{6 x^{2} - 40 x + 16}{9 x^{2} - 52 x}$

Paso 4

Evalúa el límite.

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Paso 4.1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 2$ .

$\frac{lim_{x \to - 2} 6 x^{2} - 40 x + 16}{lim_{x \to - 2} 9 x^{2} - 52 x}$

Paso 4.2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 2$ .

$\frac{lim_{x \to - 2} 6 x^{2} - lim_{x \to - 2} 40 x + lim_{x \to - 2} 16}{lim_{x \to - 2} 9 x^{2} - 52 x}$

Paso 4.3

Mueve el término $6$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{6 lim_{x \to - 2} x^{2} - lim_{x \to - 2} 40 x + lim_{x \to - 2} 16}{lim_{x \to - 2} 9 x^{2} - 52 x}$

Paso 4.4

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{6 {(lim_{x \to - 2} x)}^{2} - lim_{x \to - 2} 40 x + lim_{x \to - 2} 16}{lim_{x \to - 2} 9 x^{2} - 52 x}$

Paso 4.5

Mueve el término $40$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{6 {(lim_{x \to - 2} x)}^{2} - 40 lim_{x \to - 2} x + lim_{x \to - 2} 16}{lim_{x \to - 2} 9 x^{2} - 52 x}$

Paso 4.6

Evalúa el límite de $16$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- 2$ .

$\frac{6 {(lim_{x \to - 2} x)}^{2} - 40 lim_{x \to - 2} x + 16}{lim_{x \to - 2} 9 x^{2} - 52 x}$

Paso 4.7

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 2$ .

$\frac{6 {(lim_{x \to - 2} x)}^{2} - 40 lim_{x \to - 2} x + 16}{lim_{x \to - 2} 9 x^{2} - lim_{x \to - 2} 52 x}$

Paso 4.8

Mueve el término $9$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{6 {(lim_{x \to - 2} x)}^{2} - 40 lim_{x \to - 2} x + 16}{9 lim_{x \to - 2} x^{2} - lim_{x \to - 2} 52 x}$

Paso 4.9

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{6 {(lim_{x \to - 2} x)}^{2} - 40 lim_{x \to - 2} x + 16}{9 {(lim_{x \to - 2} x)}^{2} - lim_{x \to - 2} 52 x}$

Paso 4.10

Mueve el término $52$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{6 {(lim_{x \to - 2} x)}^{2} - 40 lim_{x \to - 2} x + 16}{9 {(lim_{x \to - 2} x)}^{2} - 52 lim_{x \to - 2} x}$

Paso 5

Evalúa los límites mediante el ingreso de $- 2$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 5.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 2$ para $x$ .

$\frac{6 {(- 2)}^{2} - 40 lim_{x \to - 2} x + 16}{9 {(lim_{x \to - 2} x)}^{2} - 52 lim_{x \to - 2} x}$

Paso 5.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 2$ para $x$ .

$\frac{6 {(- 2)}^{2} - 40 \cdot - 2 + 16}{9 {(lim_{x \to - 2} x)}^{2} - 52 lim_{x \to - 2} x}$

Paso 5.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 2$ para $x$ .

$\frac{6 {(- 2)}^{2} - 40 \cdot - 2 + 16}{9 {(- 2)}^{2} - 52 lim_{x \to - 2} x}$

Paso 5.4

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 2$ para $x$ .

$\frac{6 {(- 2)}^{2} - 40 \cdot - 2 + 16}{9 {(- 2)}^{2} - 52 \cdot - 2}$

Paso 6

Simplifica la respuesta.

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Paso 6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{6 \cdot 4 - 40 \cdot - 2 + 16}{9 {(- 2)}^{2} - 52 \cdot - 2}$

Paso 6.1.2

Multiplica $6$ por $4$ .

$\frac{24 - 40 \cdot - 2 + 16}{9 {(- 2)}^{2} - 52 \cdot - 2}$

Paso 6.1.3

Multiplica $- 40$ por $- 2$ .

$\frac{24 + 80 + 16}{9 {(- 2)}^{2} - 52 \cdot - 2}$

Paso 6.1.4

Suma $24$ y $80$ .

$\frac{104 + 16}{9 {(- 2)}^{2} - 52 \cdot - 2}$

Paso 6.1.5

Suma $104$ y $16$ .

$\frac{120}{9 {(- 2)}^{2} - 52 \cdot - 2}$

Paso 6.2

Simplifica el denominador.

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Paso 6.2.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{120}{9 \cdot 4 - 52 \cdot - 2}$

Paso 6.2.2

Multiplica $9$ por $4$ .

$\frac{120}{36 - 52 \cdot - 2}$

Paso 6.2.3

Multiplica $- 52$ por $- 2$ .

$\frac{120}{36 + 104}$

Paso 6.2.4

Suma $36$ y $104$ .

$\frac{120}{140}$

Paso 6.3

Cancela el factor común de $120$ y $140$ .

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Paso 6.3.1

Factoriza $20$ de $120$ .

$\frac{20 (6)}{140}$

Paso 6.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.3.2.1

Factoriza $20$ de $140$ .

$\frac{20 \cdot 6}{20 \cdot 7}$

Paso 6.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{20 \cdot 6}{20 \cdot 7}$

Paso 6.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{6}{7}$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{6}{7}$

Forma decimal:

$0.\overline{857142}$