Cálculo Ejemplos

$\frac{1 - 2 x}{x^{2}}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = 1 - 2 x$ y $g (x) = x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [1 - 2 x] - (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{2}$ .

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Paso 2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [1 - 2 x] - (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Paso 2.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [1 - 2 x] - (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - 2 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]) - (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 2.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]) - (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 2.4

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [- 2 x] - (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 2.5

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{2} (- 2 \frac{d}{d x} [x]) - (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{x^{2} (- 2 \cdot 1) - (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 2.7

Simplifica la expresión.

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Paso 2.7.1

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$\frac{x^{2} \cdot - 2 - (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 2.7.2

Mueve $- 2$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$\frac{- 2 \cdot x^{2} - (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 2.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{- 2 x^{2} - (1 - 2 x) (2 x)}{x^{4}}$

Paso 2.9

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 2 (1 - 2 x) x}{x^{4}}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- 2 x^{2} + (- 2 \cdot 1 - 2 (- 2 x)) x}{x^{4}}$

Paso 3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- 2 x^{2} - 2 \cdot 1 x - 2 (- 2 x) x}{x^{4}}$

Paso 3.3

Simplifica el numerador.

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Paso 3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.1.1

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 2 x - 2 (- 2 x) x}{x^{4}}$

Paso 3.3.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.1.2.1

Mueve $x$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 2 x - 2 (- 2 (x \cdot x))}{x^{4}}$

Paso 3.3.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 2 x - 2 (- 2 x^{2})}{x^{4}}$

Paso 3.3.1.3

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 2 x + 4 x^{2}}{x^{4}}$

Paso 3.3.2

Suma $- 2 x^{2}$ y $4 x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 x}{x^{4}}$

Paso 3.4

Factoriza $2 x$ de $2 x^{2} - 2 x$ .

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Paso 3.4.1

Factoriza $2 x$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{2 x (x) - 2 x}{x^{4}}$

Paso 3.4.2

Factoriza $2 x$ de $- 2 x$ .

$\frac{2 x (x) + 2 x (- 1)}{x^{4}}$

Paso 3.4.3

Factoriza $2 x$ de $2 x (x) + 2 x (- 1)$ .

$\frac{2 x (x - 1)}{x^{4}}$

Paso 3.5

Cancela el factor común de $x$ y $x^{4}$ .

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Paso 3.5.1

Factoriza $x$ de $2 x (x - 1)$ .

$\frac{x (2 (x - 1))}{x^{4}}$

Paso 3.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.5.2.1

Factoriza $x$ de $x^{4}$ .

$\frac{x (2 (x - 1))}{x \cdot x^{3}}$

Paso 3.5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{x (2 (x - 1))}{x \cdot x^{3}}$

Paso 3.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2 (x - 1)}{x^{3}}$