Cálculo Ejemplos

$\int_{1}^{4} (3 \sqrt{x} - \frac{2}{x}) d x$

Paso 1

Elimina los paréntesis.

$\int_{1}^{4} 3 \sqrt{x} - \frac{2}{x} d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{1}^{4} 3 \sqrt{x} d x + \int_{1}^{4} - \frac{2}{x} d x$

Paso 3

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$3 \int_{1}^{4} \sqrt{x} d x + \int_{1}^{4} - \frac{2}{x} d x$

Paso 4

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$3 \int_{1}^{4} x^{\frac{1}{2}} d x + \int_{1}^{4} - \frac{2}{x} d x$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} - \frac{2}{x} d x$

Paso 6

Combina $\frac{2}{3}$ y $x^{\frac{3}{2}}$ .

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} - \frac{2}{x} d x$

Paso 7

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{1}^{4}) - \int_{1}^{4} \frac{2}{x} d x$

Paso 8

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{1}^{4}) - (2 \int_{1}^{4} \frac{1}{x} d x)$

Paso 9

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{1}^{4}) - 2 \int_{1}^{4} \frac{1}{x} d x$

Paso 10

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{1}^{4}) - 2 (\ln (| x |)]_{1}^{4})$

Paso 11

Simplifica la respuesta.

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Paso 11.1

Sustituye y simplifica.

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Paso 11.1.1

Evalúa $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ en $4$ y en $1$ .

$3 ((\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3}) - 2 (\ln (| x |)]_{1}^{4})$

Paso 11.1.2

Evalúa $\ln (| x |)$ en $4$ y en $1$ .

$3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3}) - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

Paso 11.1.3

Simplifica.

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Paso 11.1.3.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$3 (\frac{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3}) - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

Paso 11.1.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3}) - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

Paso 11.1.3.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 11.1.3.3.1

Cancela el factor común.

$3 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3}) - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

Paso 11.1.3.3.2

Reescribe la expresión.

$3 (\frac{2 \cdot 2^{3}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3}) - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

Paso 11.1.3.4

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$3 (\frac{2 \cdot 8}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3}) - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

Paso 11.1.3.5

Multiplica $2$ por $8$ .

$3 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3}) - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

Paso 11.1.3.6

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$3 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 1}{3}) - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

Paso 11.1.3.7

Multiplica $2$ por $1$ .

$3 (\frac{16}{3} - \frac{2}{3}) - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

Paso 11.1.3.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$3 \frac{16 - 2}{3} - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

Paso 11.1.3.9

Resta $2$ de $16$ .

$3 (\frac{14}{3}) - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

Paso 11.1.3.10

Combina $3$ y $\frac{14}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 14}{3} - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

Paso 11.1.3.11

Multiplica $3$ por $14$ .

$\frac{42}{3} - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

Paso 11.1.3.12

Cancela el factor común de $42$ y $3$ .

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Paso 11.1.3.12.1

Factoriza $3$ de $42$ .

$\frac{3 \cdot 14}{3} - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

Paso 11.1.3.12.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 11.1.3.12.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{3 \cdot 14}{3 (1)} - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

Paso 11.1.3.12.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 \cdot 14}{3 \cdot 1} - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

Paso 11.1.3.12.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{14}{1} - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

Paso 11.1.3.12.2.4

Divide $14$ por $1$ .

$14 - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

Paso 11.2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$14 - 2 \ln (\frac{| 4 |}{| 1 |})$

Paso 11.3

Simplifica.

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Paso 11.3.1

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $4$ es $4$ .

$14 - 2 \ln (\frac{4}{| 1 |})$

Paso 11.3.2

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$14 - 2 \ln (\frac{4}{1})$

Paso 11.3.3

Divide $4$ por $1$ .

$14 - 2 \ln (4)$

Paso 12

Simplifica cada término.

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Paso 12.1

Reescribe $\ln (4)$ como $\ln (2^{2})$ .

$14 - 2 \ln (2^{2})$

Paso 12.2

Expande $\ln (2^{2})$ ; para ello, mueve $2$ fuera del logaritmo.

$14 - 2 (2 \ln (2))$

Paso 12.3

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$14 - 4 \ln (2)$

Paso 13

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$14 - 4 \ln (2)$

Forma decimal:

$11.22741127 \dots$

Paso 14