Cálculo Ejemplos

$\int \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2}) d x$

Paso 1

Sea $u_{2} = \sin (\frac{x}{2})$ . Entonces $d u_{2} = \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} d x$ , de modo que $- d u_{2} = \frac{- \cos (\frac{x}{2})}{2} d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 1.1

Deja $u_{2} = \sin (\frac{x}{2})$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $\sin (\frac{x}{2})$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (\frac{x}{2})]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = \frac{x}{2}$ .

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Paso 1.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Paso 1.1.2.2

La derivada de $\sin (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Paso 1.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\frac{x}{2}$ .

$\cos (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Paso 1.1.3

Diferencia.

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Paso 1.1.3.1

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x}{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.1.3.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $\cos (\frac{x}{2})$ .

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \cdot 1$

Paso 1.1.3.4

Multiplica $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ por $1$ .

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\int \frac{2}{1} u_{2} d u_{2}$

Paso 2

Divide $2$ por $1$ .

$\int 2 u_{2} d u_{2}$

Paso 3

Dado que $2$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int u_{2} d u_{2}$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $u_{2}$ con respecto a $u_{2}$ es $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Reescribe $2 (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$ como $2 (\frac{1}{2}) {u_{2}}^{2} + C$ .

$2 (\frac{1}{2}) {u_{2}}^{2} + C$

Paso 5.2

Simplifica.

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Paso 5.2.1

Combina $2$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Paso 5.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{2}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Paso 5.2.2.2

Reescribe la expresión.

$1 {u_{2}}^{2} + C$

Paso 5.2.3

Multiplica ${u_{2}}^{2}$ por $1$ .

${u_{2}}^{2} + C$

Paso 6

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $\sin (\frac{x}{2})$ .

$\sin^{2} (\frac{x}{2}) + C$

Paso 7

Reordena los términos.

$\sin^{2} (\frac{1}{2} x) + C$