Cálculo Ejemplos

$y = \frac{x^{2} - 4}{5 x - 3}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x^{2} - 4}{5 x - 3})$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{2} - 4$ y $g (x) = 5 x - 3$ .

$\frac{(5 x - 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4] - (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [5 x - 3]}{{(5 x - 3)}^{2}}$

Paso 3.2

Diferencia.

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Paso 3.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{(5 x - 3) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [5 x - 3]}{{(5 x - 3)}^{2}}$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{(5 x - 3) (2 x + \frac{d}{d x} [- 4]) - (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [5 x - 3]}{{(5 x - 3)}^{2}}$

Paso 3.2.3

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(5 x - 3) (2 x + 0) - (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [5 x - 3]}{{(5 x - 3)}^{2}}$

Paso 3.2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 3.2.4.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$\frac{(5 x - 3) (2 x) - (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [5 x - 3]}{{(5 x - 3)}^{2}}$

Paso 3.2.4.2

Mueve $2$ a la izquierda de $5 x - 3$ .

$\frac{2 \cdot (5 x - 3) x - (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [5 x - 3]}{{(5 x - 3)}^{2}}$

Paso 3.2.5

Según la regla de la suma, la derivada de $5 x - 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{2 (5 x - 3) x - (x^{2} - 4) (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(5 x - 3)}^{2}}$

Paso 3.2.6

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 (5 x - 3) x - (x^{2} - 4) (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(5 x - 3)}^{2}}$

Paso 3.2.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{2 (5 x - 3) x - (x^{2} - 4) (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(5 x - 3)}^{2}}$

Paso 3.2.8

Multiplica $5$ por $1$ .

$\frac{2 (5 x - 3) x - (x^{2} - 4) (5 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(5 x - 3)}^{2}}$

Paso 3.2.9

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{2 (5 x - 3) x - (x^{2} - 4) (5 + 0)}{{(5 x - 3)}^{2}}$

Paso 3.2.10

Simplifica la expresión.

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Paso 3.2.10.1

Suma $5$ y $0$ .

$\frac{2 (5 x - 3) x - (x^{2} - 4) \cdot 5}{{(5 x - 3)}^{2}}$

Paso 3.2.10.2

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$\frac{2 (5 x - 3) x - 5 (x^{2} - 4)}{{(5 x - 3)}^{2}}$

Paso 3.3

Simplifica.

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Paso 3.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(2 (5 x) + 2 \cdot - 3) x - 5 (x^{2} - 4)}{{(5 x - 3)}^{2}}$

Paso 3.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 (5 x) x + 2 \cdot - 3 x - 5 (x^{2} - 4)}{{(5 x - 3)}^{2}}$

Paso 3.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 (5 x) x + 2 \cdot - 3 x - 5 x^{2} - 5 \cdot - 4}{{(5 x - 3)}^{2}}$

Paso 3.3.4

Simplifica el numerador.

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Paso 3.3.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.4.1.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.4.1.1.1

Mueve $x$ .

$\frac{2 (5 (x \cdot x)) + 2 \cdot - 3 x - 5 x^{2} - 5 \cdot - 4}{{(5 x - 3)}^{2}}$

Paso 3.3.4.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{2 (5 x^{2}) + 2 \cdot - 3 x - 5 x^{2} - 5 \cdot - 4}{{(5 x - 3)}^{2}}$

Paso 3.3.4.1.2

Multiplica $5$ por $2$ .

$\frac{10 x^{2} + 2 \cdot - 3 x - 5 x^{2} - 5 \cdot - 4}{{(5 x - 3)}^{2}}$

Paso 3.3.4.1.3

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$\frac{10 x^{2} - 6 x - 5 x^{2} - 5 \cdot - 4}{{(5 x - 3)}^{2}}$

Paso 3.3.4.1.4

Multiplica $- 5$ por $- 4$ .

$\frac{10 x^{2} - 6 x - 5 x^{2} + 20}{{(5 x - 3)}^{2}}$

Paso 3.3.4.2

Resta $5 x^{2}$ de $10 x^{2}$ .

$\frac{5 x^{2} - 6 x + 20}{{(5 x - 3)}^{2}}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = \frac{5 x^{2} - 6 x + 20}{{(5 x - 3)}^{2}}$

Paso 5

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 x^{2} - 6 x + 20}{{(5 x - 3)}^{2}}$