Cálculo Ejemplos

$y = \arcsin (\tan (x^{3}))$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\arcsin (\tan (x^{3})))$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \arcsin (x)$ y $g (x) = \tan (x^{3})$ .

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Paso 3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\tan (x^{3})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\arcsin (u_{1})] \frac{d}{d x} [\tan (x^{3})]$

Paso 3.1.2

La derivada de $\arcsin (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}} \frac{d}{d x} [\tan (x^{3})]$

Paso 3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\tan (x^{3})$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - \tan^{2} (x^{3})}} \frac{d}{d x} [\tan (x^{3})]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \tan (x)$ y $g (x) = x^{3}$ .

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Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $x^{3}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - \tan^{2} (x^{3})}} (\frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 3.2.2

La derivada de $\tan (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\sec^{2} (u_{2})$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - \tan^{2} (x^{3})}} (\sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x^{3}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - \tan^{2} (x^{3})}} (\sec^{2} (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 3.3.1

Combina $\sec^{2} (x^{3})$ y $\frac{1}{\sqrt{1 - \tan^{2} (x^{3})}}$ .

$\frac{\sec^{2} (x^{3})}{\sqrt{1 - \tan^{2} (x^{3})}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{\sec^{2} (x^{3})}{\sqrt{1 - \tan^{2} (x^{3})}} (3 x^{2})$

Paso 3.3.3

Combina fracciones.

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Paso 3.3.3.1

Combina $3$ y $\frac{\sec^{2} (x^{3})}{\sqrt{1 - \tan^{2} (x^{3})}}$ .

$\frac{3 \sec^{2} (x^{3})}{\sqrt{1 - \tan^{2} (x^{3})}} x^{2}$

Paso 3.3.3.2

Combina $\frac{3 \sec^{2} (x^{3})}{\sqrt{1 - \tan^{2} (x^{3})}}$ y $x^{2}$ .

$\frac{3 \sec^{2} (x^{3}) x^{2}}{\sqrt{1 - \tan^{2} (x^{3})}}$

Paso 3.3.3.3

Reordena los factores en $3 \sec^{2} (x^{3}) x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2} \sec^{2} (x^{3})}{\sqrt{1 - \tan^{2} (x^{3})}}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = \frac{3 x^{2} \sec^{2} (x^{3})}{\sqrt{1 - \tan^{2} (x^{3})}}$

Paso 5

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2} \sec^{2} (x^{3})}{\sqrt{1 - \tan^{2} (x^{3})}}$