Cálculo Ejemplos

$y^{2} = 2 + x y$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y^{2}) = \frac{d}{d x} (2 + x y)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 y y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia.

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Paso 3.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 + x y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x y]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x y]$

Paso 3.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x y]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [x y]$ .

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Paso 3.2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = y$ .

$0 + x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.2.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$0 + x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 + x y' + y \cdot 1$

Paso 3.2.4

Multiplica $y$ por $1$ .

$0 + x y' + y$

Paso 3.3

Suma $0$ y $x y' + y$ .

$x y' + y$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$2 y y' = x y' + y$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Resta $x y'$ de ambos lados de la ecuación.

$2 y y' - x y' = y$

Paso 5.2

Factoriza $y'$ de $2 y y' - x y'$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $y'$ de $2 y y'$ .

$y' (2 y) - x y' = y$

Paso 5.2.2

Factoriza $y'$ de $- x y'$ .

$y' (2 y) + y' (- x) = y$

Paso 5.2.3

Factoriza $y'$ de $y' (2 y) + y' (- x)$ .

$y' (2 y - x) = y$

Paso 5.3

Divide cada término en $y' (2 y - x) = y$ por $2 y - x$ y simplifica.

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Paso 5.3.1

Divide cada término en $y' (2 y - x) = y$ por $2 y - x$ .

$\frac{y' (2 y - x)}{2 y - x} = \frac{y}{2 y - x}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $2 y - x$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (2 y - x)}{2 y - x} = \frac{y}{2 y - x}$

Paso 5.3.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{y}{2 y - x}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 y - x}$