Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 1}{\sin (π x)}$

Paso 1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}{lim_{x \to 1} \sin (π x)}$

Paso 1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.2.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \sin (π x)}$

Paso 1.2.1.2

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \sin (π x)}$

Paso 1.2.1.3

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $1$ .

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} \sin (π x)}$

Paso 1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{1^{2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} \sin (π x)}$

Paso 1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.3.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} \sin (π x)}$

Paso 1.2.3.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 1} \sin (π x)}$

Paso 1.2.3.2

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} \sin (π x)}$

Paso 1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.3.1.1

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 1} π x)}$

Paso 1.3.1.2

Mueve el término $π$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{0}{\sin (π lim_{x \to 1} x)}$

Paso 1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{0}{\sin (π \cdot 1)}$

Paso 1.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.3.3.1

Multiplica $π$ por $1$ .

$\frac{0}{\sin (π)}$

Paso 1.3.3.2

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$\frac{0}{\sin (0)}$

Paso 1.3.3.3

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.3.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 1}{\sin (π x)} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{\frac{d}{d x} [\sin (π x)]}$

Paso 3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{\frac{d}{d x} [\sin (π x)]}$

Paso 3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\sin (π x)]}$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\sin (π x)]}$

Paso 3.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 0}{\frac{d}{d x} [\sin (π x)]}$

Paso 3.5

Suma $2 x$ y $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\sin (π x)]}$

Paso 3.6

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = π x$ .

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Paso 3.6.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $π x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [π x]}$

Paso 3.6.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x}{\cos (u) \frac{d}{d x} [π x]}$

Paso 3.6.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $π x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x}{\cos (π x) \frac{d}{d x} [π x]}$

Paso 3.7

Como $π$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $π x$ con respecto a $x$ es $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x}{\cos (π x) (π \frac{d}{d x} [x])}$

Paso 3.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x}{\cos (π x) (π \cdot 1)}$

Paso 3.9

Multiplica $π$ por $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x}{\cos (π x) π}$

Paso 3.10

Reordena los factores de $\cos (π x) π$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x}{π \cos (π x)}$

Paso 4

Mueve el término $\frac{2}{π}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{2}{π} lim_{x \to 1} \frac{x}{\cos (π x)}$

Paso 5

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$\frac{2}{π} \cdot \frac{lim_{x \to 1} x}{lim_{x \to 1} \cos (π x)}$

Paso 6

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\frac{2}{π} \cdot \frac{lim_{x \to 1} x}{\cos (lim_{x \to 1} π x)}$

Paso 7

Mueve el término $π$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{2}{π} \cdot \frac{lim_{x \to 1} x}{\cos (π lim_{x \to 1} x)}$

Paso 8

Evalúa los límites mediante el ingreso de $1$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 8.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{2}{π} \cdot \frac{1}{\cos (π lim_{x \to 1} x)}$

Paso 8.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{2}{π} \cdot \frac{1}{\cos (π \cdot 1)}$

Paso 9

Simplifica la respuesta.

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Paso 9.1

Convierte de $\frac{1}{\cos (π \cdot 1)}$ a $\sec (π \cdot 1)$ .

$\frac{2}{π} \sec (π \cdot 1)$

Paso 9.2

Multiplica $π$ por $1$ .

$\frac{2}{π} \sec (π)$

Paso 9.3

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque la secante es negativa en el segundo cuadrante.

$\frac{2}{π} (- \sec (0))$

Paso 9.4

El valor exacto de $\sec (0)$ es $1$ .

$\frac{2}{π} (- 1 \cdot 1)$

Paso 9.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{2}{π} \cdot - 1$

Paso 9.6

Multiplica $\frac{2}{π} \cdot - 1$ .

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Paso 9.6.1

Combina $\frac{2}{π}$ y $- 1$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{π}$

Paso 9.6.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{- 2}{π}$

Paso 9.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2}{π}$