Cálculo Ejemplos

$\ln (1 - x)$

Paso 1

Escribe $\ln (1 - x)$ como una función.

$f (x) = \ln (1 - x)$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int \ln (1 - x) d x$

Paso 4

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = \ln (1 - x)$ y $d v = 1$ .

$\ln (1 - x) x - \int x (- \frac{1}{1 - x}) d x$

Paso 5

Combina $x$ y $\frac{1}{1 - x}$ .

$\ln (1 - x) x - \int - \frac{x}{1 - x} d x$

Paso 6

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\ln (1 - x) x - - \int \frac{x}{1 - x} d x$

Paso 7

Simplifica la expresión.

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Paso 7.1

Simplifica.

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Paso 7.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\ln (1 - x) x + 1 \int \frac{x}{1 - x} d x$

Paso 7.1.2

Multiplica $\int \frac{x}{1 - x} d x$ por $1$ .

$\ln (1 - x) x + \int \frac{x}{1 - x} d x$

Paso 7.2

Reordena $1$ y $- x$ .

$\ln (1 - x) x + \int \frac{x}{- x + 1} d x$

Paso 8

Divide $x$ por $- x + 1$ .

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Paso 8.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$1$

$x$

$0$

Paso 8.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x$ por el término de mayor orden en el divisor $- x$ .

				-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$

Paso 8.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
				+	$x$	-	$1$

Paso 8.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x - 1$ .

				-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
				-	$x$	+	$1$

Paso 8.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
				-	$x$	+	$1$
						+	$1$

Paso 8.6

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$\ln (1 - x) x + \int - 1 + \frac{1}{- x + 1} d x$

Paso 9

Divide la única integral en varias integrales.

$\ln (1 - x) x + \int - 1 d x + \int \frac{1}{- x + 1} d x$

Paso 10

Aplica la regla de la constante.

$\ln (1 - x) x - x + C + \int \frac{1}{- x + 1} d x$

Paso 11

Sea $u = - x + 1$ . Entonces $d u = - d x$ , de modo que $- d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 11.1

Deja $u = - x + 1$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 11.1.1

Reescribe.

$\frac{- 1}{1}$

Paso 11.1.2

Divide $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 11.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\ln (1 - x) x - x + C + \int \frac{- 1}{u} d u$

Paso 12

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\ln (1 - x) x - x + C + \int - \frac{1}{u} d u$

Paso 13

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\ln (1 - x) x - x + C - \int \frac{1}{u} d u$

Paso 14

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\ln (1 - x) x - x + C - (\ln (| u |) + C)$

Paso 15

Simplifica.

$\ln (1 - x) x - x - \ln (| u |) + C$

Paso 16

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- x + 1$ .

$\ln (1 - x) x - x - \ln (| - x + 1 |) + C$

Paso 17

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = \ln (1 - x)$ .

$F (x) =$ $\ln (1 - x) x - x - \ln (| - x + 1 |) + C$