Cálculo Ejemplos

$\int \frac{\sin (\sqrt{3 x})}{\sqrt{3 x}} d x$

Paso 1

Sea $u_{1} = 3 x$ . Entonces $d u_{1} = 3 d x$ , de modo que $\frac{1}{3} d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 1.1

Deja $u_{1} = 3 x$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Paso 1.1.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Paso 1.1.4

Multiplica $3$ por $1$ .

$3$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$\int \frac{\sin (\sqrt{u_{1}})}{\sqrt{u_{1}}} \cdot \frac{1}{3} d u_{1}$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Multiplica $\frac{\sin (\sqrt{u_{1}})}{\sqrt{u_{1}}}$ por $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{\sin (\sqrt{u_{1}})}{\sqrt{u_{1}} \cdot 3} d u_{1}$

Paso 2.2

Mueve $3$ a la izquierda de $\sqrt{u_{1}}$ .

$\int \frac{\sin (\sqrt{u_{1}})}{3 \sqrt{u_{1}}} d u_{1}$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} \int \frac{\sin (\sqrt{u_{1}})}{\sqrt{u_{1}}} d u_{1}$

Paso 4

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u_{1}}$ como ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} \int \frac{\sin ({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}{\sqrt{u_{1}}} d u_{1}$

Paso 4.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u_{1}}$ como ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} \int \frac{\sin ({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}{{u_{1}}^{\frac{1}{2}}} d u_{1}$

Paso 4.3

Mueve ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\frac{1}{3} \int \sin ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u_{1}$

Paso 4.4

Multiplica los exponentes en ${({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 4.4.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} \int \sin ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u_{1}$

Paso 4.4.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$\frac{1}{3} \int \sin ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) {u_{1}}^{\frac{- 1}{2}} d u_{1}$

Paso 4.4.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{3} \int \sin ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) {u_{1}}^{- \frac{1}{2}} d u_{1}$

Paso 5

Sea $u_{2} = {u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ . Entonces $d u_{2} = \frac{1}{2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}} d u_{1}$ , de modo que $- d u_{2} = \frac{- 1}{2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}} d u_{1}$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 5.1

Deja $u_{2} = {u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Paso 5.1.1

Diferencia ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 5.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1}$

Paso 5.1.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Paso 5.1.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Paso 5.1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Paso 5.1.6

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1 - 2}{2}}$

Paso 5.1.6.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{- 1}{2}}$

Paso 5.1.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{- \frac{1}{2}}$

Paso 5.1.8

Simplifica.

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Paso 5.1.8.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{u_{1}}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5.1.8.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{{u_{1}}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\frac{1}{3} \int 2 \sin (u_{2}) d u_{2}$

Paso 6

Dado que $2$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} (2 \int \sin (u_{2}) d u_{2})$

Paso 7

Combina $2$ y $\frac{1}{3}$ .

$\frac{2}{3} \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

Paso 8

La integral de $\sin (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $- \cos (u_{2})$ .

$\frac{2}{3} (- \cos (u_{2}) + C)$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Simplifica.

$\frac{2}{3} (- \cos (u_{2})) + C$

Paso 9.2

Combina $\frac{2}{3}$ y $\cos (u_{2})$ .

$- \frac{2 \cos (u_{2})}{3} + C$

Paso 10

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 10.1

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{2 \cos ({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}{3} + C$

Paso 10.2

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $3 x$ .

$- \frac{2 \cos ({(3 x)}^{\frac{1}{2}})}{3} + C$

Paso 11

Simplifica.

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Paso 11.1

Aplica la regla del producto a $3 x$ .

$- \frac{2 \cos (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}{3} + C$

Paso 11.2

Reordena los términos.

$- \frac{2}{3} \cos (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) + C$