Cálculo Ejemplos

$lim_{t \to 0} \frac{t}{e^{t} - 1}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{t \to 0} t}{lim_{t \to 0} e^{t} - 1}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite de $t$ mediante el ingreso de $0$ para $t$ .

$\frac{0}{lim_{t \to 0} e^{t} - 1}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.3.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $t$ se aproxima a $0$ .

$\frac{0}{lim_{t \to 0} e^{t} - lim_{t \to 0} 1}$

Paso 1.1.3.1.2

Mueve el límite dentro del exponente.

$\frac{0}{e^{lim_{t \to 0} t} - lim_{t \to 0} 1}$

Paso 1.1.3.1.3

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $t$ se acerca a $0$ .

$\frac{0}{e^{lim_{t \to 0} t} - 1 \cdot 1}$

Paso 1.1.3.2

Evalúa el límite de $t$ mediante el ingreso de $0$ para $t$ .

$\frac{0}{e^{0} - 1 \cdot 1}$

Paso 1.1.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.3.3.1.1

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Paso 1.1.3.3.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Paso 1.1.3.3.2

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{t \to 0} \frac{t}{e^{t} - 1} = lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [t]}{\frac{d}{d t} [e^{t} - 1]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [t]}{\frac{d}{d t} [e^{t} - 1]}$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d t} [e^{t} - 1]}$

Paso 1.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $e^{t} - 1$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [e^{t}] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$lim_{t \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d t} [e^{t}] + \frac{d}{d t} [- 1]}$

Paso 1.3.4

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ es $a^{t} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$lim_{t \to 0} \frac{1}{e^{t} + \frac{d}{d t} [- 1]}$

Paso 1.3.5

Como $- 1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $t$ es $0$ .

$lim_{t \to 0} \frac{1}{e^{t} + 0}$

Paso 1.3.6

Suma $e^{t}$ y $0$ .

$lim_{t \to 0} \frac{1}{e^{t}}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $t$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{t \to 0} 1}{lim_{t \to 0} e^{t}}$

Paso 2.2

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $t$ se acerca a $0$ .

$\frac{1}{lim_{t \to 0} e^{t}}$

Paso 2.3

Mueve el límite dentro del exponente.

$\frac{1}{e^{lim_{t \to 0} t}}$

Paso 3

Evalúa el límite de $t$ mediante el ingreso de $0$ para $t$ .

$\frac{1}{e^{0}}$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\frac{1}{1}$

Paso 4.2

Divide $1$ por $1$ .

$1$