Cálculo Ejemplos

$\sqrt{2 x - x^{2}}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2 x - x^{2}}$ como ${(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = 2 x - x^{2}$ .

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Paso 1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x - x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (2 x - x^{2})$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (2 x - x^{2})$

Paso 1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x - x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (2 x - x^{2})$

Paso 1.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (2 x - x^{2})$

Paso 1.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (2 x - x^{2})$

Paso 1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(2 x - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (2 x - x^{2})$

Paso 1.6

Simplifica el numerador.

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Paso 1.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(2 x - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (2 x - x^{2})$

Paso 1.6.2

Resta $2$ de $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(2 x - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (2 x - x^{2})$

Paso 1.7

Combina fracciones.

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Paso 1.7.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(2 x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (2 x - x^{2})$

Paso 1.7.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(2 x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{{(2 x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - x^{2})$

Paso 1.7.3

Mueve ${(2 x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - x^{2})$

Paso 1.8

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x - x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- x^{2}))$

Paso 1.9

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- x^{2}))$

Paso 1.10

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- x^{2}))$

Paso 1.11

Multiplica $2$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 + \frac{d}{d x} (- x^{2}))$

Paso 1.12

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 - \frac{d}{d x} x^{2})$

Paso 1.13

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 - (2 x))$

Paso 1.14

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 - 2 x)$

Paso 1.15

Simplifica.

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Paso 1.15.1

Reordena los factores de $\frac{1}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 - 2 x)$ .

$f' (x) = (2 - 2 x) (\frac{1}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Paso 1.15.2

Multiplica $2 - 2 x$ por $\frac{1}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{2 - 2 x}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.15.3

Factoriza $2$ de $2$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot 1 - 2 x}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.15.4

Factoriza $2$ de $- 2 x$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot 1 + 2 (- x)}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.15.5

Factoriza $2$ de $2 (1) + 2 (- x)$ .

$f' (x) = \frac{2 (1 - x)}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.15.6

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.15.6.1

Factoriza $2$ de $2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{2 (1 - x)}{2 ({(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Paso 1.15.6.2

Cancela el factor común.

$f' (x) = \frac{2 (1 - x)}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.15.6.3

Reescribe la expresión.

$f' (x) = \frac{1 - x}{{(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = 1 - x$ y $g (x) = {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (1 - x) - (1 - x) \frac{d}{d x} {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{({(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 2.2

Multiplica los exponentes en ${({(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (1 - x) - (1 - x) \frac{d}{d x} {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 2.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.2.1

Cancela el factor común.

$f'' (x) = \frac{{(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (1 - x) - (1 - x) \frac{d}{d x} {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 2.2.2.2

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = \frac{{(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (1 - x) - (1 - x) \frac{d}{d x} {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 x - x^{2}}$

Paso 2.3

Simplifica.

$f'' (x) = \frac{{(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (1 - x) - (1 - x) \frac{d}{d x} {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 x - x^{2}}$

Paso 2.4

Diferencia.

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Paso 2.4.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$f'' (x) = \frac{{(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- x)) - (1 - x) \frac{d}{d x} {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 x - x^{2}}$

Paso 2.4.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (0 + \frac{d}{d x} (- x)) - (1 - x) \frac{d}{d x} {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 x - x^{2}}$

Paso 2.4.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$f'' (x) = \frac{{(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- x) - (1 - x) \frac{d}{d x} {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 x - x^{2}}$

Paso 2.4.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{{(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (- \frac{d}{d x} x) - (1 - x) \frac{d}{d x} {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 x - x^{2}}$

Paso 2.4.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (- 1 \cdot 1) - (1 - x) \frac{d}{d x} {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 x - x^{2}}$

Paso 2.4.6

Simplifica la expresión.

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Paso 2.4.6.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot - 1 - (1 - x) \frac{d}{d x} {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 x - x^{2}}$

Paso 2.4.6.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de ${(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 1 \cdot {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 - x) \frac{d}{d x} {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 x - x^{2}}$

Paso 2.4.6.3

Reescribe $- 1 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ como $- {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{- {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 - x) \frac{d}{d x} {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 x - x^{2}}$

Paso 2.5

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = 2 x - x^{2}$ .

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Paso 2.5.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $2 x - x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 - x) (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (2 x - x^{2}))}{2 x - x^{2}}$

Paso 2.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 - x) (\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (2 x - x^{2}))}{2 x - x^{2}}$

Paso 2.5.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $2 x - x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 - x) (\frac{1}{2} \cdot {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (2 x - x^{2}))}{2 x - x^{2}}$

Paso 2.6

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 - x) (\frac{1}{2} \cdot {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (2 x - x^{2}))}{2 x - x^{2}}$

Paso 2.7

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 - x) (\frac{1}{2} \cdot {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (2 x - x^{2}))}{2 x - x^{2}}$

Paso 2.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = \frac{- {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 - x) (\frac{1}{2} \cdot {(2 x - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (2 x - x^{2}))}{2 x - x^{2}}$

Paso 2.9

Simplifica el numerador.

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Paso 2.9.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{- {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 - x) (\frac{1}{2} \cdot {(2 x - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (2 x - x^{2}))}{2 x - x^{2}}$

Paso 2.9.2

Resta $2$ de $1$ .

$f'' (x) = \frac{- {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 - x) (\frac{1}{2} \cdot {(2 x - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (2 x - x^{2}))}{2 x - x^{2}}$

Paso 2.10

Combina fracciones.

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Paso 2.10.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = \frac{- {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 - x) (\frac{1}{2} \cdot {(2 x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (2 x - x^{2}))}{2 x - x^{2}}$

Paso 2.10.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(2 x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{- {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 - x) (\frac{{(2 x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - x^{2}))}{2 x - x^{2}}$

Paso 2.10.3

Mueve ${(2 x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{- {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 - x) (\frac{1}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - x^{2}))}{2 x - x^{2}}$

Paso 2.11

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x - x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{- {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 - x) (\frac{1}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- x^{2})))}{2 x - x^{2}}$

Paso 2.12

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{- {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 - x) (\frac{1}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- x^{2})))}{2 x - x^{2}}$

Paso 2.13

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{- {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 - x) (\frac{1}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- x^{2})))}{2 x - x^{2}}$

Paso 2.14

Multiplica $2$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{- {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 - x) (\frac{1}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 + \frac{d}{d x} (- x^{2})))}{2 x - x^{2}}$

Paso 2.15

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{- {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 - x) (\frac{1}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 - \frac{d}{d x} x^{2}))}{2 x - x^{2}}$

Paso 2.16

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{- {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 - x) (\frac{1}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 - (2 x)))}{2 x - x^{2}}$

Paso 2.17

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{- {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 - x) (\frac{1}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 - 2 x))}{2 x - x^{2}}$

Paso 2.18

Simplifica.

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Paso 2.18.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{- {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + (- 1 \cdot 1 + x) (\frac{1}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 - 2 x))}{2 x - x^{2}}$

Paso 2.18.2

Simplifica el numerador.

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Paso 2.18.2.1

Sea $u_{2} = {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ . Sustituye $u_{2}$ por todos los casos de ${(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{- \frac{{u_{2}}^{2} + x^{2} - 2 x + 1}{u_{2}}}{2 x - x^{2}}$

Paso 2.18.2.2

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con ${(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{- \frac{{({(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} + x^{2} - 2 x + 1}{{(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - x^{2}}$

Paso 2.18.2.3

Simplifica el numerador.

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Paso 2.18.2.3.1

Multiplica los exponentes en ${({(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.18.2.3.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{- \frac{{(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + x^{2} - 2 x + 1}{{(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - x^{2}}$

Paso 2.18.2.3.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.18.2.3.1.2.1

Cancela el factor común.

$f'' (x) = \frac{- \frac{{(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + x^{2} - 2 x + 1}{{(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - x^{2}}$

Paso 2.18.2.3.1.2.2

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = \frac{- \frac{(2 x - x^{2}) + x^{2} - 2 x + 1}{{(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - x^{2}}$

Paso 2.18.2.3.2

Simplifica.

$f'' (x) = \frac{- \frac{2 x - x^{2} + x^{2} - 2 x + 1}{{(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - x^{2}}$

Paso 2.18.2.3.3

Resta $2 x$ de $2 x$ .

$f'' (x) = \frac{- \frac{- x^{2} + x^{2} + 0 + 1}{{(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - x^{2}}$

Paso 2.18.2.3.4

Suma $- x^{2}$ y $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- \frac{0 + 0 + 1}{{(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - x^{2}}$

Paso 2.18.2.3.5

Suma $0$ y $0$ .

$f'' (x) = \frac{- \frac{0 + 1}{{(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - x^{2}}$

Paso 2.18.2.3.6

Suma $0$ y $1$ .

$f'' (x) = \frac{- \frac{1}{{(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - x^{2}}$

Paso 2.18.3

Combina los términos.

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Paso 2.18.3.1

Reescribe $\frac{- \frac{1}{{(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - x^{2}}$ como un producto.

$f'' (x) = - \frac{1}{{(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x - x^{2}}$

Paso 2.18.3.2

Multiplica $\frac{1}{2 x - x^{2}}$ por $\frac{1}{{(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{(2 x - x^{2}) {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.18.3.3

Multiplica $2 x - x^{2}$ por ${(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.18.3.3.1

Multiplica $2 x - x^{2}$ por ${(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 2.18.3.3.1.1

Eleva $2 x - x^{2}$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{(2 x - x^{2}) {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.18.3.3.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = - \frac{1}{{(2 x - x^{2})}^{1 + \frac{1}{2}}}$

Paso 2.18.3.3.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$f'' (x) = - \frac{1}{{(2 x - x^{2})}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Paso 2.18.3.3.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = - \frac{1}{{(2 x - x^{2})}^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Paso 2.18.3.3.4

Suma $2$ y $1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{{(2 x - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$