Cálculo Ejemplos

$\frac{2 x^{4} + 4 x^{3} - x}{x^{3}}$

Paso 1

Escribe $\frac{2 x^{4} + 4 x^{3} - x}{x^{3}}$ como una función.

$f (x) = \frac{2 x^{4} + 4 x^{3} - x}{x^{3}}$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{2 x^{4} + 4 x^{3} - x}{x^{3}} d x$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Factoriza $x$ de $2 x^{4} + 4 x^{3} - x$ .

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Paso 4.1.1

Factoriza $x$ de $2 x^{4}$ .

$\int \frac{x (2 x^{3}) + 4 x^{3} - x}{x^{3}} d x$

Paso 4.1.2

Factoriza $x$ de $4 x^{3}$ .

$\int \frac{x (2 x^{3}) + x (4 x^{2}) - x}{x^{3}} d x$

Paso 4.1.3

Factoriza $x$ de $- x$ .

$\int \frac{x (2 x^{3}) + x (4 x^{2}) + x \cdot - 1}{x^{3}} d x$

Paso 4.1.4

Factoriza $x$ de $x (2 x^{3}) + x (4 x^{2})$ .

$\int \frac{x (2 x^{3} + 4 x^{2}) + x \cdot - 1}{x^{3}} d x$

Paso 4.1.5

Factoriza $x$ de $x (2 x^{3} + 4 x^{2}) + x \cdot - 1$ .

$\int \frac{x (2 x^{3} + 4 x^{2} - 1)}{x^{3}} d x$

Paso 4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.2.1

Factoriza $x$ de $x^{3}$ .

$\int \frac{x (2 x^{3} + 4 x^{2} - 1)}{x \cdot x^{2}} d x$

Paso 4.2.2

Cancela el factor común.

$\int \frac{x (2 x^{3} + 4 x^{2} - 1)}{x \cdot x^{2}} d x$

Paso 4.2.3

Reescribe la expresión.

$\int \frac{2 x^{3} + 4 x^{2} - 1}{x^{2}} d x$

Paso 5

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 5.1

Mueve $x^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int (2 x^{3} + 4 x^{2} - 1) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Paso 5.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 5.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (2 x^{3} + 4 x^{2} - 1) x^{2 \cdot - 1} d x$

Paso 5.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\int (2 x^{3} + 4 x^{2} - 1) x^{- 2} d x$

Paso 6

Expande $(2 x^{3} + 4 x^{2} - 1) x^{- 2}$ .

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Paso 6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\int (2 x^{3} + 4 x^{2}) x^{- 2} - 1 x^{- 2} d x$

Paso 6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\int 2 x^{3} x^{- 2} + 4 x^{2} x^{- 2} - 1 x^{- 2} d x$

Paso 6.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int 2 x^{3 - 2} + 4 x^{2} x^{- 2} - 1 x^{- 2} d x$

Paso 6.4

Resta $2$ de $3$ .

$\int 2 x^{1} + 4 x^{2} x^{- 2} - 1 x^{- 2} d x$

Paso 6.5

Simplifica.

$\int 2 x + 4 x^{2} x^{- 2} - 1 x^{- 2} d x$

Paso 6.6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int 2 x + 4 x^{2 - 2} - 1 x^{- 2} d x$

Paso 6.7

Resta $2$ de $2$ .

$\int 2 x + 4 x^{0} - 1 x^{- 2} d x$

Paso 6.8

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\int 2 x + 4 \cdot 1 - 1 x^{- 2} d x$

Paso 6.9

Multiplica $4$ por $1$ .

$\int 2 x + 4 - 1 x^{- 2} d x$

Paso 6.10

Mueve $4$ .

$\int 2 x - 1 x^{- 2} + 4 d x$

Paso 7

Divide la única integral en varias integrales.

$\int 2 x d x + \int - 1 x^{- 2} d x + \int 4 d x$

Paso 8

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int x d x + \int - 1 x^{- 2} d x + \int 4 d x$

Paso 9

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 1 x^{- 2} d x + \int 4 d x$

Paso 10

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - \int x^{- 2} d x + \int 4 d x$

Paso 11

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- 2}$ con respecto a $x$ es $- x^{- 1}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - (- x^{- 1} + C) + \int 4 d x$

Paso 12

Aplica la regla de la constante.

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - (- x^{- 1} + C) + 4 x + C$

Paso 13

Simplifica.

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Paso 13.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - (- x^{- 1} + C) + 4 x + C$

Paso 13.2

Simplifica.

$x^{2} + \frac{1}{x} + 4 x + C$

Paso 14

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = \frac{2 x^{4} + 4 x^{3} - x}{x^{3}}$ .

$F (x) =$ $x^{2} + \frac{1}{x} + 4 x + C$