Cálculo Ejemplos

$e^{2 x} + \frac{2}{x}$

Paso 1

Escribe $e^{2 x} + \frac{2}{x}$ como una función.

$f (x) = e^{2 x} + \frac{2}{x}$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int e^{2 x} + \frac{2}{x} d x$

Paso 4

Divide la única integral en varias integrales.

$\int e^{2 x} d x + \int \frac{2}{x} d x$

Paso 5

Sea $u = 2 x$ . Entonces $d u = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 5.1

Deja $u = 2 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 5.1.1

Diferencia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 5.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 5.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 5.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int e^{u} \frac{1}{2} d u + \int \frac{2}{x} d x$

Paso 6

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{e^{u}}{2} d u + \int \frac{2}{x} d x$

Paso 7

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int e^{u} d u + \int \frac{2}{x} d x$

Paso 8

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$\frac{1}{2} (e^{u} + C) + \int \frac{2}{x} d x$

Paso 9

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} (e^{u} + C) + 2 \int \frac{1}{x} d x$

Paso 10

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} (e^{u} + C) + 2 (\ln (| x |) + C)$

Paso 11

Simplifica.

$\frac{1}{2} e^{u} + 2 \ln (| x |) + C$

Paso 12

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$\frac{1}{2} e^{2 x} + 2 \ln (| x |) + C$

Paso 13

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = e^{2 x} + \frac{2}{x}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} e^{2 x} + 2 \ln (| x |) + C$