Cálculo Ejemplos

$y = \tan (x \sin (x))$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\tan (x \sin (x)))$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \tan (x)$ y $g (x) = x \sin (x)$ .

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Paso 3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x \sin (x)$ .

$\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [x \sin (x)]$

Paso 3.1.2

La derivada de $\tan (u)$ con respecto a $u$ es $\sec^{2} (u)$ .

$\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [x \sin (x)]$

Paso 3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x \sin (x)$ .

$\sec^{2} (x \sin (x)) \frac{d}{d x} [x \sin (x)]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = \sin (x)$ .

$\sec^{2} (x \sin (x)) (x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.3

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$\sec^{2} (x \sin (x)) (x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 3.4.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\sec^{2} (x \sin (x)) (x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1)$

Paso 3.4.2

Multiplica $\sin (x)$ por $1$ .

$\sec^{2} (x \sin (x)) (x \cos (x) + \sin (x))$

Paso 3.5

Simplifica.

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Paso 3.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\sec^{2} (x \sin (x)) (x \cos (x)) + \sec^{2} (x \sin (x)) \sin (x)$

Paso 3.5.2

Reordena los términos.

$x \sec^{2} (x \sin (x)) \cos (x) + \sec^{2} (x \sin (x)) \sin (x)$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = x \sec^{2} (x \sin (x)) \cos (x) + \sec^{2} (x \sin (x)) \sin (x)$

Paso 5

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = x \sec^{2} (x \sin (x)) \cos (x) + \sec^{2} (x \sin (x)) \sin (x)$