Cálculo Ejemplos

$\int_{1}^{4} (5 x^{2} + \sqrt{x}) d x$

Paso 1

Elimina los paréntesis.

$\int_{1}^{4} 5 x^{2} + \sqrt{x} d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{1}^{4} 5 x^{2} d x + \int_{1}^{4} \sqrt{x} d x$

Paso 3

Dado que $5$ es constante con respecto a $x$ , mueve $5$ fuera de la integral.

$5 \int_{1}^{4} x^{2} d x + \int_{1}^{4} \sqrt{x} d x$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$5 (\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} \sqrt{x} d x$

Paso 5

Combina fracciones.

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Paso 5.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} \sqrt{x} d x$

Paso 5.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} x^{\frac{1}{2}} d x$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4}) + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4}$

Paso 7

Sustituye y simplifica.

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Paso 7.1

Evalúa $\frac{x^{3}}{3}$ en $4$ y en $1$ .

$5 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}) + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4}$

Paso 7.2

Evalúa $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ en $4$ y en $1$ .

$5 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Paso 7.3

Simplifica.

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Paso 7.3.1

Eleva $4$ a la potencia de $3$ .

$5 (\frac{64}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Paso 7.3.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$5 (\frac{64}{3} - \frac{1}{3}) + \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Paso 7.3.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$5 \frac{64 - 1}{3} + \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Paso 7.3.4

Resta $1$ de $64$ .

$5 (\frac{63}{3}) + \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Paso 7.3.5

Cancela el factor común de $63$ y $3$ .

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Paso 7.3.5.1

Factoriza $3$ de $63$ .

$5 \frac{3 \cdot 21}{3} + \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Paso 7.3.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.3.5.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$5 \frac{3 \cdot 21}{3 (1)} + \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Paso 7.3.5.2.2

Cancela el factor común.

$5 \frac{3 \cdot 21}{3 \cdot 1} + \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Paso 7.3.5.2.3

Reescribe la expresión.

$5 (\frac{21}{1}) + \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Paso 7.3.5.2.4

Divide $21$ por $1$ .

$5 \cdot 21 + \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Paso 7.3.6

Multiplica $5$ por $21$ .

$105 + \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Paso 7.3.7

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$105 + \frac{2}{3} \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Paso 7.3.8

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$105 + \frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Paso 7.3.9

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.3.9.1

Cancela el factor común.

$105 + \frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Paso 7.3.9.2

Reescribe la expresión.

$105 + \frac{2}{3} \cdot 2^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Paso 7.3.10

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$105 + \frac{2}{3} \cdot 8 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Paso 7.3.11

Combina $\frac{2}{3}$ y $8$ .

$105 + \frac{2 \cdot 8}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Paso 7.3.12

Multiplica $2$ por $8$ .

$105 + \frac{16}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Paso 7.3.13

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$105 + \frac{16}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1$

Paso 7.3.14

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$105 + \frac{16}{3} - \frac{2}{3}$

Paso 7.3.15

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$105 + \frac{16 - 2}{3}$

Paso 7.3.16

Resta $2$ de $16$ .

$105 + \frac{14}{3}$

Paso 7.3.17

Para escribir $105$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$105 \cdot \frac{3}{3} + \frac{14}{3}$

Paso 7.3.18

Combina $105$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{105 \cdot 3}{3} + \frac{14}{3}$

Paso 7.3.19

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{105 \cdot 3 + 14}{3}$

Paso 7.3.20

Simplifica el numerador.

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Paso 7.3.20.1

Multiplica $105$ por $3$ .

$\frac{315 + 14}{3}$

Paso 7.3.20.2

Suma $315$ y $14$ .

$\frac{329}{3}$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{329}{3}$

Forma decimal:

$109.\overline{6}$

Forma de número mixto:

$109 \frac{2}{3}$

Paso 9