Cálculo Ejemplos

$\ln (e^{x} + x)$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = e^{x} + x$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $e^{x} + x$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [e^{x} + x]$

Paso 1.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [e^{x} + x]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $e^{x} + x$ .

$\frac{1}{e^{x} + x} \frac{d}{d x} [e^{x} + x]$

Paso 2

Según la regla de la suma, la derivada de $e^{x} + x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{e^{x} + x} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{1}{e^{x} + x} (e^{x} + \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{e^{x} + x} (e^{x} + 1)$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Reordena los factores de $\frac{1}{e^{x} + x} (e^{x} + 1)$ .

$(e^{x} + 1) \frac{1}{e^{x} + x}$

Paso 5.2

Multiplica $e^{x} + 1$ por $\frac{1}{e^{x} + x}$ .

$\frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x}$