Cálculo Ejemplos

$e^{y} = \frac{x^{2}}{y}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (e^{y}) = \frac{d}{d x} (\frac{x^{2}}{y})$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$e^{y} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$e^{y} y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

$\frac{y \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 3.2.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{y (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Paso 3.2.2

Mueve $2$ a la izquierda de $y$ .

$\frac{2 \cdot y x - x^{2} \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Paso 3.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{2 y x - x^{2} y'}{y^{2}}$

Paso 3.4

Simplifica.

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Paso 3.4.1

Reordena los términos.

$\frac{2 x y - x^{2} y'}{y^{2}}$

Paso 3.4.2

Factoriza $x$ de $2 x y - x^{2} y'$ .

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Paso 3.4.2.1

Factoriza $x$ de $2 x y$ .

$\frac{x (2 y) - x^{2} y'}{y^{2}}$

Paso 3.4.2.2

Factoriza $x$ de $- x^{2} y'$ .

$\frac{x (2 y) + x (- x y')}{y^{2}}$

Paso 3.4.2.3

Factoriza $x$ de $x (2 y) + x (- x y')$ .

$\frac{x (2 y - x y')}{y^{2}}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$e^{y} y' = \frac{x (2 y - x y')}{y^{2}}$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Multiplica ambos lados por $y^{2}$ .

$e^{y} y' y^{2} = \frac{x (2 y - x y')}{y^{2}} y^{2}$

Paso 5.2

Simplifica.

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Paso 5.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1.1

Reordena los factores en $e^{y} y' y^{2}$ .

$y' y^{2} e^{y} = \frac{x (2 y - x y')}{y^{2}} y^{2}$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.2.1

Simplifica $\frac{x (2 y - x y')}{y^{2}} y^{2}$ .

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Paso 5.2.2.1.1

Cancela el factor común de $y^{2}$ .

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Paso 5.2.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$y' y^{2} e^{y} = \frac{x (2 y - x y')}{y^{2}} y^{2}$

Paso 5.2.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$y' y^{2} e^{y} = x (2 y - x y')$

Paso 5.2.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y' y^{2} e^{y} = x (2 y) + x (- x y')$

Paso 5.2.2.1.3

Reordena.

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Paso 5.2.2.1.3.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$y' y^{2} e^{y} = 2 x y + x (- x y')$

Paso 5.2.2.1.3.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$y' y^{2} e^{y} = 2 x y - x (x y')$

Paso 5.2.2.1.4

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 5.2.2.1.4.1

Mueve $x$ .

$y' y^{2} e^{y} = 2 x y - (x \cdot x) y'$

Paso 5.2.2.1.4.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$y' y^{2} e^{y} = 2 x y - x^{2} y'$

Paso 5.2.2.1.5

Mueve $x^{2}$ .

$y' y^{2} e^{y} = 2 x y - y' x^{2}$

Paso 5.2.2.1.6

Reordena $2 x y$ y $- y' x^{2}$ .

$y' y^{2} e^{y} = - y' x^{2} + 2 x y$

Paso 5.3

Resuelve $y'$

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Paso 5.3.1

Suma $y' x^{2}$ a ambos lados de la ecuación.

$y' y^{2} e^{y} + y' x^{2} = 2 x y$

Paso 5.3.2

Factoriza $y'$ de $y' y^{2} e^{y} + y' x^{2}$ .

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Paso 5.3.2.1

Factoriza $y'$ de $y' y^{2} e^{y}$ .

$y' (y^{2} e^{y}) + y' (x^{2}) = 2 x y$

Paso 5.3.2.2

Factoriza $y'$ de $y' x^{2}$ .

$y' (y^{2} e^{y}) + y' (x^{2}) = 2 x y$

Paso 5.3.2.3

Factoriza $y'$ de $y' (y^{2} e^{y}) + y' (x^{2})$ .

$y' (y^{2} e^{y} + x^{2}) = 2 x y$

Paso 5.3.3

Divide cada término en $y' (y^{2} e^{y} + x^{2}) = 2 x y$ por $y^{2} e^{y} + x^{2}$ y simplifica.

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Paso 5.3.3.1

Divide cada término en $y' (y^{2} e^{y} + x^{2}) = 2 x y$ por $y^{2} e^{y} + x^{2}$ .

$\frac{y' (y^{2} e^{y} + x^{2})}{y^{2} e^{y} + x^{2}} = \frac{2 x y}{y^{2} e^{y} + x^{2}}$

Paso 5.3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.3.2.1

Cancela el factor común de $y^{2} e^{y} + x^{2}$ .

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Paso 5.3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (y^{2} e^{y} + x^{2})}{y^{2} e^{y} + x^{2}} = \frac{2 x y}{y^{2} e^{y} + x^{2}}$

Paso 5.3.3.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{2 x y}{y^{2} e^{y} + x^{2}}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x y}{y^{2} e^{y} + x^{2}}$