Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{4 x^{2}}{e^{4 x} - 4 x - 1}$

Paso 1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} 4 x^{2}}{lim_{x \to 0} e^{4 x} - 4 x - 1}$

Paso 1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.2.1.1

Mueve el término $4$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{4 lim_{x \to 0} x^{2}}{lim_{x \to 0} e^{4 x} - 4 x - 1}$

Paso 1.2.1.2

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{4 {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{lim_{x \to 0} e^{4 x} - 4 x - 1}$

Paso 1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{4 \cdot 0^{2}}{lim_{x \to 0} e^{4 x} - 4 x - 1}$

Paso 1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{4 \cdot 0}{lim_{x \to 0} e^{4 x} - 4 x - 1}$

Paso 1.2.3.2

Multiplica $4$ por $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} e^{4 x} - 4 x - 1}$

Paso 1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.3.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} e^{4 x} - lim_{x \to 0} 4 x - lim_{x \to 0} 1}$

Paso 1.3.2

Mueve el límite dentro del exponente.

$\frac{0}{e^{lim_{x \to 0} 4 x} - lim_{x \to 0} 4 x - lim_{x \to 0} 1}$

Paso 1.3.3

Mueve el término $4$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{0}{e^{4 lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 4 x - lim_{x \to 0} 1}$

Paso 1.3.4

Mueve el término $4$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{0}{e^{4 lim_{x \to 0} x} - 4 lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} 1}$

Paso 1.3.5

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{0}{e^{4 lim_{x \to 0} x} - 4 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 1}$

Paso 1.3.6

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 1.3.6.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{e^{4 \cdot 0} - 4 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 1}$

Paso 1.3.6.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{e^{4 \cdot 0} - 4 \cdot 0 - 1 \cdot 1}$

Paso 1.3.7

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.3.7.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.7.1.1

Multiplica $4$ por $0$ .

$\frac{0}{e^{0} - 4 \cdot 0 - 1 \cdot 1}$

Paso 1.3.7.1.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\frac{0}{1 - 4 \cdot 0 - 1 \cdot 1}$

Paso 1.3.7.1.3

Multiplica $- 4$ por $0$ .

$\frac{0}{1 + 0 - 1 \cdot 1}$

Paso 1.3.7.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{0}{1 + 0 - 1}$

Paso 1.3.7.2

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Paso 1.3.7.3

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.3.7.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.3.8

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{4 x^{2}}{e^{4 x} - 4 x - 1} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [4 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{4 x} - 4 x - 1]}$

Paso 3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [4 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{4 x} - 4 x - 1]}$

Paso 3.2

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{2}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{4 x} - 4 x - 1]}$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 (2 x)}{\frac{d}{d x} [e^{4 x} - 4 x - 1]}$

Paso 3.4

Multiplica $2$ por $4$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 x}{\frac{d}{d x} [e^{4 x} - 4 x - 1]}$

Paso 3.5

Según la regla de la suma, la derivada de $e^{4 x} - 4 x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 x}{\frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 3.6

Evalúa $\frac{d}{d x} [e^{4 x}]$ .

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Paso 3.6.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 4 x$ .

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Paso 3.6.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $4 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 x}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 3.6.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 x}{e^{u} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 3.6.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $4 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 x}{e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 3.6.2

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 x}{e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 3.6.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 x}{e^{4 x} (4 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 3.6.4

Multiplica $4$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 x}{e^{4 x} \cdot 4 + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 3.6.5

Mueve $4$ a la izquierda de $e^{4 x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 x}{4 e^{4 x} + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 3.7

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Paso 3.7.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 x$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 x}{4 e^{4 x} - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 3.7.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 x}{4 e^{4 x} - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 3.7.3

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 x}{4 e^{4 x} - 4 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 3.8

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 x}{4 e^{4 x} - 4 + 0}$

Paso 3.9

Suma $4 e^{4 x} - 4$ y $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 x}{4 e^{4 x} - 4}$

Paso 4

Evalúa el límite.

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Paso 4.1

Cancela el factor común de $8$ y $4 e^{4 x} - 4$ .

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Paso 4.1.1

Factoriza $4$ de $8 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 (2 x)}{4 e^{4 x} - 4}$

Paso 4.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.1.2.1

Factoriza $4$ de $4 e^{4 x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 (2 x)}{4 (e^{4 x}) - 4}$

Paso 4.1.2.2

Factoriza $4$ de $- 4$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 (2 x)}{4 (e^{4 x}) + 4 (- 1)}$

Paso 4.1.2.3

Factoriza $4$ de $4 (e^{4 x}) + 4 (- 1)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 (2 x)}{4 (e^{4 x} - 1)}$

Paso 4.1.2.4

Cancela el factor común.

$lim_{x \to 0} \frac{4 (2 x)}{4 (e^{4 x} - 1)}$

Paso 4.1.2.5

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{e^{4 x} - 1}$

Paso 4.2

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{x}{e^{4 x} - 1}$

Paso 5

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 5.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 5.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$2 \frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} e^{4 x} - 1}$

Paso 5.1.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$2 \frac{0}{lim_{x \to 0} e^{4 x} - 1}$

Paso 5.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 5.1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 5.1.3.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$2 \frac{0}{lim_{x \to 0} e^{4 x} - lim_{x \to 0} 1}$

Paso 5.1.3.1.2

Mueve el límite dentro del exponente.

$2 \frac{0}{e^{lim_{x \to 0} 4 x} - lim_{x \to 0} 1}$

Paso 5.1.3.1.3

Mueve el término $4$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$2 \frac{0}{e^{4 lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 1}$

Paso 5.1.3.1.4

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$2 \frac{0}{e^{4 lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1}$

Paso 5.1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$2 \frac{0}{e^{4 \cdot 0} - 1 \cdot 1}$

Paso 5.1.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.1.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.1.3.3.1.1

Multiplica $4$ por $0$ .

$2 \frac{0}{e^{0} - 1 \cdot 1}$

Paso 5.1.3.3.1.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$2 \frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Paso 5.1.3.3.1.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$2 \frac{0}{1 - 1}$

Paso 5.1.3.3.2

Resta $1$ de $1$ .

$2 (\frac{0}{0})$

Paso 5.1.3.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$2 (\frac{0}{0})$

Paso 5.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$2 (\frac{0}{0})$

Paso 5.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$2 (\frac{0}{0})$

Paso 5.2

$lim_{x \to 0} \frac{x}{e^{4 x} - 1} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{4 x} - 1]}$

Paso 5.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 5.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$2 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{4 x} - 1]}$

Paso 5.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [e^{4 x} - 1]}$

Paso 5.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $e^{4 x} - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 5.3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [e^{4 x}]$ .

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Paso 5.3.4.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 4 x$ .

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Paso 5.3.4.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $4 x$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 5.3.4.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{1}{e^{u} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 5.3.4.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $4 x$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{1}{e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 5.3.4.2

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{1}{e^{4 x} \cdot 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 5.3.4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{1}{e^{4 x} \cdot 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 5.3.4.4

Multiplica $4$ por $1$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{1}{e^{4 x} \cdot 4 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 5.3.4.5

Mueve $4$ a la izquierda de $e^{4 x}$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{1}{4 e^{4 x} + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 5.3.5

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{1}{4 e^{4 x} + 0}$

Paso 5.3.6

Suma $4 e^{4 x}$ y $0$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{1}{4 e^{4 x}}$

Paso 6

Evalúa el límite.

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Paso 6.1

Mueve el término $\frac{1}{4}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$2 (\frac{1}{4}) lim_{x \to 0} \frac{1}{e^{4 x}}$

Paso 6.2

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$2 (\frac{1}{4}) \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} e^{4 x}}$

Paso 6.3

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$2 (\frac{1}{4}) \frac{1}{lim_{x \to 0} e^{4 x}}$

Paso 6.4

Mueve el límite dentro del exponente.

$2 (\frac{1}{4}) \frac{1}{e^{lim_{x \to 0} 4 x}}$

Paso 6.5

Mueve el término $4$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$2 (\frac{1}{4}) \frac{1}{e^{4 lim_{x \to 0} x}}$

Paso 7

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$2 (\frac{1}{4}) \frac{1}{e^{4 \cdot 0}}$

Paso 8

Simplifica la respuesta.

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Paso 8.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.1.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$2 \frac{1}{2 (2)} \frac{1}{e^{4 \cdot 0}}$

Paso 8.1.2

Cancela el factor común.

$2 \frac{1}{2 \cdot 2} \frac{1}{e^{4 \cdot 0}}$

Paso 8.1.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{e^{4 \cdot 0}}$

Paso 8.2

Combinar.

$\frac{1 \cdot 1}{2 e^{4 \cdot 0}}$

Paso 8.3

Multiplica $1$ por $1$ .

$\frac{1}{2 e^{4 \cdot 0}}$

Paso 8.4

Simplifica el denominador.

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Paso 8.4.1

Multiplica $4$ por $0$ .

$\frac{1}{2 e^{0}}$

Paso 8.4.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\frac{1}{2 \cdot 1}$

Paso 8.5

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{1}{2}$