Cálculo Ejemplos

$- 3 = x y - y$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (- 3) = \frac{d}{d x} (x y - y)$

Paso 2

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x y - y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [x y]$ .

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Paso 3.2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Paso 3.2.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x y' + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Paso 3.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y]$

Paso 3.2.4

Multiplica $y$ por $1$ .

$x y' + y + \frac{d}{d x} [- y]$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- y]$ .

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Paso 3.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- y$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$x y' + y - \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.3.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x y' + y - y'$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$0 = x y' + y - y'$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Reescribe la ecuación como $x y' + y - y' = 0$ .

$x y' + y - y' = 0$

Paso 5.2

Resta $y$ de ambos lados de la ecuación.

$x y' - y' = - y$

Paso 5.3

Factoriza $y'$ de $x y' - y'$ .

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Paso 5.3.1

Factoriza $y'$ de $x y'$ .

$y' x - y' = - y$

Paso 5.3.2

Factoriza $y'$ de $- y'$ .

$y' x + y' \cdot - 1 = - y$

Paso 5.3.3

Factoriza $y'$ de $y' x + y' \cdot - 1$ .

$y' (x - 1) = - y$

Paso 5.4

Divide cada término en $y' (x - 1) = - y$ por $x - 1$ y simplifica.

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Paso 5.4.1

Divide cada término en $y' (x - 1) = - y$ por $x - 1$ .

$\frac{y' (x - 1)}{x - 1} = \frac{- y}{x - 1}$

Paso 5.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.2.1

Cancela el factor común de $x - 1$ .

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Paso 5.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (x - 1)}{x - 1} = \frac{- y}{x - 1}$

Paso 5.4.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- y}{x - 1}$

Paso 5.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.4.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{y}{x - 1}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x - 1}$