Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{1}{\sqrt{42 - 3 x}}$

Paso 1

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 2

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{1}{\sqrt{42 - 3 x}} d x$

Paso 3

Sea $u = 42 - 3 x$ . Entonces $d u = - 3 d x$ , de modo que $- \frac{1}{3} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 3.1

Deja $u = 42 - 3 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 3.1.1

Diferencia $42 - 3 x$ .

$\frac{d}{d x} [42 - 3 x]$

Paso 3.1.2

Diferencia.

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Paso 3.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $42 - 3 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [42] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{d}{d x} [42] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Paso 3.1.2.2

Como $42$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $42$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Paso 3.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Paso 3.1.3.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 3 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 - 3 \cdot 1$

Paso 3.1.3.3

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$0 - 3$

Paso 3.1.4

Resta $3$ de $0$ .

$- 3$

Paso 3.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 3} d u$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int \frac{1}{\sqrt{u}} (- \frac{1}{3}) d u$

Paso 4.2

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{u}}$ por $\frac{1}{3}$ .

$\int - \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 3} d u$

Paso 4.3

Mueve $3$ a la izquierda de $\sqrt{u}$ .

$\int - \frac{1}{3 \sqrt{u}} d u$

Paso 5

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int \frac{1}{3 \sqrt{u}} d u$

Paso 6

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$- (\frac{1}{3} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Paso 7

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{3} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Paso 7.2

Mueve $u^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$- \frac{1}{3} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Paso 7.3

Multiplica los exponentes en ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 7.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{3} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Paso 7.3.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$- \frac{1}{3} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Paso 7.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{3} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Paso 8

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- \frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{3} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Reescribe $- \frac{1}{3} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ como $- \frac{1}{3} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ .

$- \frac{1}{3} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 9.2

Simplifica.

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Paso 9.2.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 (\frac{1}{3}) u^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 9.2.2

Combina $- 2$ y $\frac{1}{3}$ .

$\frac{- 2}{3} u^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 9.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2}{3} u^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 10

Reemplaza todos los casos de $u$ con $42 - 3 x$ .

$- \frac{2}{3} {(42 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 11

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = \frac{1}{\sqrt{42 - 3 x}}$ .

$F (x) =$ $- \frac{2}{3} {(42 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} + C$