Cálculo Ejemplos

$- 4 x^{2} = - y^{2} - y^{3}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (- 4 x^{2}) = \frac{d}{d x} (- y^{2} - y^{3})$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- 4 (2 x)$

Paso 2.3

Multiplica $2$ por $- 4$ .

$- 8 x$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- y^{2} - y^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

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Paso 3.2.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- y^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$- \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 3.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $y$ .

$- (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Paso 3.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- (2 u_{1} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Paso 3.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $y$ .

$- (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Paso 3.2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$- (2 y y') + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Paso 3.2.4

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 y y' + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- y^{3}]$ .

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Paso 3.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- y^{3}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$- 2 y y' - \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 3.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $y$ .

$- 2 y y' - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

Paso 3.3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$- 2 y y' - (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Paso 3.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $y$ .

$- 2 y y' - (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Paso 3.3.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$- 2 y y' - (3 y^{2} y')$

Paso 3.3.4

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$- 2 y y' - 3 y^{2} y'$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$- 8 x = - 2 y y' - 3 y^{2} y'$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Reescribe la ecuación como $- 2 y y' - 3 y^{2} y' = - 8 x$ .

$- 2 y y' - 3 y^{2} y' = - 8 x$

Paso 5.2

Factoriza $y y'$ de $- 2 y y' - 3 y^{2} y'$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $y y'$ de $- 2 y y'$ .

$y y' \cdot - 2 - 3 y^{2} y' = - 8 x$

Paso 5.2.2

Factoriza $y y'$ de $- 3 y^{2} y'$ .

$y y' \cdot - 2 + y y' (- 3 y) = - 8 x$

Paso 5.2.3

Factoriza $y y'$ de $y y' \cdot - 2 + y y' (- 3 y)$ .

$y y' (- 2 - 3 y) = - 8 x$

Paso 5.3

Divide cada término en $y y' (- 2 - 3 y) = - 8 x$ por $y (- 2 - 3 y)$ y simplifica.

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Paso 5.3.1

Divide cada término en $y y' (- 2 - 3 y) = - 8 x$ por $y (- 2 - 3 y)$ .

$\frac{y y' (- 2 - 3 y)}{y (- 2 - 3 y)} = \frac{- 8 x}{y (- 2 - 3 y)}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y y' (- 2 - 3 y)}{y (- 2 - 3 y)} = \frac{- 8 x}{y (- 2 - 3 y)}$

Paso 5.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y' (- 2 - 3 y)}{- 2 - 3 y} = \frac{- 8 x}{y (- 2 - 3 y)}$

Paso 5.3.2.2

Cancela el factor común de $- 2 - 3 y$ .

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Paso 5.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (- 2 - 3 y)}{- 2 - 3 y} = \frac{- 8 x}{y (- 2 - 3 y)}$

Paso 5.3.2.2.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 8 x}{y (- 2 - 3 y)}$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{8 x}{y (- 2 - 3 y)}$

Paso 5.3.3.2

Reescribe $- 2$ como $- 1 (2)$ .

$y' = - \frac{8 x}{y (- 1 (2) - 3 y)}$

Paso 5.3.3.3

Factoriza $- 1$ de $- 3 y$ .

$y' = - \frac{8 x}{y (- 1 (2) - (3 y))}$

Paso 5.3.3.4

Factoriza $- 1$ de $- 1 (2) - (3 y)$ .

$y' = - \frac{8 x}{y (- 1 (2 + 3 y))}$

Paso 5.3.3.5

Simplifica la expresión.

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Paso 5.3.3.5.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - - \frac{8 x}{y (2 + 3 y)}$

Paso 5.3.3.5.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$y' = 1 \frac{8 x}{y (2 + 3 y)}$

Paso 5.3.3.5.3

Multiplica $\frac{8 x}{y (2 + 3 y)}$ por $1$ .

$y' = \frac{8 x}{y (2 + 3 y)}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{8 x}{y (2 + 3 y)}$