Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0^{+}} x \ln (3 x + 4 x^{2})$

Paso 1

Reescribe $x \ln (3 x + 4 x^{2})$ como $\frac{\ln (3 x + 4 x^{2})}{\frac{1}{x}}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (3 x + 4 x^{2})}{\frac{1}{x}}$

Paso 2

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 2.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 2.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (3 x + 4 x^{2})}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}$

Paso 2.1.2

A medida que $x$ se acerca a $0$ desde el lado derecho, $\ln (3 x + 4 x^{2})$ disminuye sin cota.

$\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}$

Paso 2.1.3

Como el numerador es una constante y el denominador se acerca a $0$ cuando $x$ se acerca a $0$ desde la derecha, la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca al infinito.

$\frac{- \infty}{\infty}$

Paso 2.1.4

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$\frac{- \infty}{\infty}$

Paso 2.2

Como $\frac{- \infty}{\infty}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (3 x + 4 x^{2})}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (3 x + 4 x^{2})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Paso 2.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 2.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (3 x + 4 x^{2})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = 3 x + 4 x^{2}$ .

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Paso 2.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $3 x + 4 x^{2}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x + 4 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Paso 2.3.2.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x + 4 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Paso 2.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 x + 4 x^{2}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{3 x + 4 x^{2}} \frac{d}{d x} [3 x + 4 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Paso 2.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x + 4 x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{3 x + 4 x^{2}} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Paso 2.3.4

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{3 x + 4 x^{2}} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Paso 2.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{3 x + 4 x^{2}} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 x^{2}])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Paso 2.3.6

Multiplica $3$ por $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{3 x + 4 x^{2}} (3 + \frac{d}{d x} [4 x^{2}])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Paso 2.3.7

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{2}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{3 x + 4 x^{2}} (3 + 4 \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Paso 2.3.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{3 x + 4 x^{2}} (3 + 4 (2 x))}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Paso 2.3.9

Multiplica $2$ por $4$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{3 x + 4 x^{2}} (3 + 8 x)}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Paso 2.3.10

Simplifica.

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Paso 2.3.10.1

Reordena los factores de $\frac{1}{3 x + 4 x^{2}} (3 + 8 x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{(3 + 8 x) \frac{1}{3 x + 4 x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Paso 2.3.10.2

Factoriza $x$ de $3 x + 4 x^{2}$ .

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Paso 2.3.10.2.1

Factoriza $x$ de $3 x$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{(3 + 8 x) \frac{1}{x \cdot 3 + 4 x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Paso 2.3.10.2.2

Factoriza $x$ de $4 x^{2}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{(3 + 8 x) \frac{1}{x \cdot 3 + x (4 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Paso 2.3.10.2.3

Factoriza $x$ de $x \cdot 3 + x (4 x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{(3 + 8 x) \frac{1}{x (3 + 4 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Paso 2.3.10.3

Multiplica $3 + 8 x$ por $\frac{1}{x (3 + 4 x)}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{3 + 8 x}{x (3 + 4 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Paso 2.3.11

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{3 + 8 x}{x (3 + 4 x)}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}$

Paso 2.3.12

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{3 + 8 x}{x (3 + 4 x)}}{- x^{- 2}}$

Paso 2.3.13

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{3 + 8 x}{x (3 + 4 x)}}{- \frac{1}{x^{2}}}$

Paso 2.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{3 + 8 x}{x (3 + 4 x)} (- x^{2})$

Paso 2.5

Combina $\frac{3 + 8 x}{x (3 + 4 x)}$ y $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{(3 + 8 x) x^{2}}{x (3 + 4 x)}$

Paso 2.6

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x$ .

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Paso 2.6.1

Factoriza $x$ de $(3 + 8 x) x^{2}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x ((3 + 8 x) x)}{x (3 + 4 x)}$

Paso 2.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.6.2.1

Cancela el factor común.

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x ((3 + 8 x) x)}{x (3 + 4 x)}$

Paso 2.6.2.2

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{(3 + 8 x) x}{3 + 4 x}$

Paso 2.7

Reordena los factores en $- \frac{(3 + 8 x) x}{3 + 4 x}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x (3 + 8 x)}{3 + 4 x}$

Paso 3

Evalúa el límite.

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Paso 3.1

Mueve el término $- 1$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{x (3 + 8 x)}{3 + 4 x}$

Paso 3.2

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$- \frac{lim_{x \to 0^{+}} x (3 + 8 x)}{lim_{x \to 0^{+}} 3 + 4 x}$

Paso 3.3

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$- \frac{lim_{x \to 0^{+}} x \cdot lim_{x \to 0^{+}} 3 + 8 x}{lim_{x \to 0^{+}} 3 + 4 x}$

Paso 3.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$- \frac{lim_{x \to 0^{+}} x \cdot (lim_{x \to 0^{+}} 3 + lim_{x \to 0^{+}} 8 x)}{lim_{x \to 0^{+}} 3 + 4 x}$

Paso 3.5

Evalúa el límite de $3$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$- \frac{lim_{x \to 0^{+}} x \cdot (3 + lim_{x \to 0^{+}} 8 x)}{lim_{x \to 0^{+}} 3 + 4 x}$

Paso 3.6

Mueve el término $8$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$- \frac{lim_{x \to 0^{+}} x \cdot (3 + 8 lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} 3 + 4 x}$

Paso 3.7

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$- \frac{lim_{x \to 0^{+}} x \cdot (3 + 8 lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} 3 + lim_{x \to 0^{+}} 4 x}$

Paso 3.8

Evalúa el límite de $3$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$- \frac{lim_{x \to 0^{+}} x \cdot (3 + 8 lim_{x \to 0^{+}} x)}{3 + lim_{x \to 0^{+}} 4 x}$

Paso 3.9

Mueve el término $4$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$- \frac{lim_{x \to 0^{+}} x \cdot (3 + 8 lim_{x \to 0^{+}} x)}{3 + 4 lim_{x \to 0^{+}} x}$

Paso 4

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 4.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$- \frac{0 \cdot (3 + 8 lim_{x \to 0^{+}} x)}{3 + 4 lim_{x \to 0^{+}} x}$

Paso 4.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$- \frac{0 \cdot (3 + 8 \cdot 0)}{3 + 4 lim_{x \to 0^{+}} x}$

Paso 4.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$- \frac{0 \cdot (3 + 8 \cdot 0)}{3 + 4 \cdot 0}$

Paso 5

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.1

Cancela el factor común de $0$ y $3 + 4 \cdot 0$ .

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Paso 5.1.1

Reordena los términos.

$- \frac{0 \cdot (3 + 8 \cdot 0)}{3 + 0 \cdot 4}$

Paso 5.1.2

Factoriza $3$ de $0 \cdot (3 + 8 \cdot 0)$ .

$- \frac{3 (0 \cdot (3 + 8 \cdot 0))}{3 + 0 \cdot 4}$

Paso 5.1.3

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.1.3.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$- \frac{3 (0 \cdot (3 + 8 \cdot 0))}{3 (1) + 0 \cdot 4}$

Paso 5.1.3.2

Factoriza $3$ de $0 \cdot 4$ .

$- \frac{3 (0 \cdot (3 + 8 \cdot 0))}{3 (1) + 3 (0 \cdot 4)}$

Paso 5.1.3.3

Factoriza $3$ de $3 (1) + 3 (0 \cdot 4)$ .

$- \frac{3 (0 \cdot (3 + 8 \cdot 0))}{3 (1 + 0 \cdot 4)}$

Paso 5.1.3.4

Cancela el factor común.

$- \frac{3 (0 \cdot (3 + 8 \cdot 0))}{3 (1 + 0 \cdot 4)}$

Paso 5.1.3.5

Reescribe la expresión.

$- \frac{0 \cdot (3 + 8 \cdot 0)}{1 + 0 \cdot 4}$

Paso 5.2

Multiplica $0$ por $3 + 8 \cdot 0$ .

$- \frac{0}{1 + 0 \cdot 4}$

Paso 5.3

Simplifica el denominador.

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Paso 5.3.1

Multiplica $0$ por $4$ .

$- \frac{0}{1 + 0}$

Paso 5.3.2

Suma $1$ y $0$ .

$- \frac{0}{1}$

Paso 5.4

Divide $0$ por $1$ .

$- 0$

Paso 5.5

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$0$