Cálculo Ejemplos

$\int \frac{2 x + 4}{x^{2} + 9} d x$

Paso 1

Divide la fracción $\frac{2 x + 4}{x^{2} + 9}$ en dos fracciones.

$\int \frac{2 x}{x^{2} + 9} + \frac{4}{x^{2} + 9} d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int \frac{2 x}{x^{2} + 9} d x + \int \frac{4}{x^{2} + 9} d x$

Paso 3

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int \frac{x}{x^{2} + 9} d x + \int \frac{4}{x^{2} + 9} d x$

Paso 4

Sea $u = x^{2} + 9$ . Entonces $d u = 2 x d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 4.1

Deja $u = x^{2} + 9$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 4.1.1

Diferencia $x^{2} + 9$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Paso 4.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 9$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Paso 4.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [9]$

Paso 4.1.4

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 x + 0$

Paso 4.1.5

Suma $2 x$ y $0$ .

$2 x$

Paso 4.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u + \int \frac{4}{x^{2} + 9} d x$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Multiplica $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u + \int \frac{4}{x^{2} + 9} d x$

Paso 5.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u$ .

$2 \int \frac{1}{2 u} d u + \int \frac{4}{x^{2} + 9} d x$

Paso 6

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) + \int \frac{4}{x^{2} + 9} d x$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{4}{x^{2} + 9} d x$

Paso 7.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{4}{x^{2} + 9} d x$

Paso 7.2.2

Reescribe la expresión.

$1 \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{4}{x^{2} + 9} d x$

Paso 7.3

Multiplica $\int \frac{1}{u} d u$ por $1$ .

$\int \frac{1}{u} d u + \int \frac{4}{x^{2} + 9} d x$

Paso 8

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C + \int \frac{4}{x^{2} + 9} d x$

Paso 9

Dado que $4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$\ln (| u |) + C + 4 \int \frac{1}{x^{2} + 9} d x$

Paso 10

Simplifica la expresión.

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Paso 10.1

Reordena $x^{2}$ y $9$ .

$\ln (| u |) + C + 4 \int \frac{1}{9 + x^{2}} d x$

Paso 10.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\ln (| u |) + C + 4 \int \frac{1}{3^{2} + x^{2}} d x$

Paso 11

La integral de $\frac{1}{3^{2} + x^{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} \arctan (\frac{x}{3}) + C$ .

$\ln (| u |) + C + 4 (\frac{1}{3} \arctan (\frac{x}{3}) + C)$

Paso 12

Simplifica.

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Paso 12.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $\arctan (\frac{x}{3})$ .

$\ln (| u |) + C + 4 (\frac{\arctan (\frac{x}{3})}{3} + C)$

Paso 12.2

Simplifica.

$\ln (| u |) + \frac{4 \arctan (\frac{x}{3})}{3} + C$

Paso 13

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + 9$ .

$\ln (| x^{2} + 9 |) + \frac{4 \arctan (\frac{x}{3})}{3} + C$

Paso 14

Reordena los términos.

$\ln (| x^{2} + 9 |) + \frac{4}{3} \arctan (\frac{1}{3} x) + C$